このシリーズでは、平成の北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
10回目の今回は2010年になります。
第1問
線形計画法の問題です。
(1)2つ目の不等式を、2本の直線の領域に翻訳できたかがカギですね。
(2)直線x+2y=kとDが交点を持つkの条件を考えます。
(3)直線ax+y=lとDの交わりを考え、lをどんどん小さくしていったときに初めてDとぶつかる点が(-3,4)となるように、aの値を図形的に調整するとよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第2問
不等式の成立条件と面積の計算問題です。
(1)x=0で不等式が成立するのは明らかなので、x>0で考えます。このときc≧log(1+x^2)/x^2となるので、cが右辺の最大値以上であればいいわけです。
(2)積分で面積計算するわけですが、メインはlog(1+x^2)の積分です。logが入っているので(x)'を無理やり作って部分積分するタイプになります。
＜筆者の解答＞
第3問
いわゆる「コッホ曲線」と呼ばれるフラクタルの図形を題材にした、数列の問題です。
(1) 1つの辺に問題文の変換をすると、長さが4/3倍になります。
(2) Dnの辺の数と1辺の長さを調べておくとよいでしょう。
すると、Dn-1からDnになる際、1辺の長さが1/3倍になった正三角形が辺の数分だけ追加されることから面積が求められます。
(3) (2)ができていれば瞬殺です。
＜筆者の解答＞
第4問
1次変換の問題です。
(1)2つの座標変換の関係式を並べれば、1本の行列の積の式ができます。
(2) (1)の行列を素直に掛け算して検討すればよいです。答えが2つ出てきます。
(3) 変換のされ方は全部で6通りあり、そのうち１つは(1) (2)で検討済みです。なので、残りの5パターンについて同じような検討をして、矛盾なくfを構成できるのがどれかを逐一探していきます。
＜筆者の解答＞
