東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の2004年の問題を取り上げます。
第1問
複素数を含んだ漸化式の問題です。(4)以外は、特に複素数要素はないです。
(1)-(3)は、普通の漸化式を解く方法と全く変わりません。
(4)は、絶対値が1の複素数の累乗になるので、周期で変化します。
＜筆者の解答＞
第2問
行列の問題です。
(1) k=0を代入して素直にXを求めていきます。
(2)も、結局x,y,zを計算しに行きます。x,y,zが求まるにはある条件が必要なことが分かります。それとA^2 =Oをどう結び付けるかがカギです。
＜筆者の解答＞
第3問
不等式と積分の値を考察する問題です。意外と手ごわい問題です。。
(1)は標準的だと思います。不等式の左辺をf(x)とおいて、f(x)の増減を調べましょう。
(2)は、結構難しいです。(1)を素直に使ってx+2bを消せばいいやと考えがちですが、そうは問屋が卸しません。
確かに、積分を不等式で評価するだけなら(1)で十分なのですが、x+2bをe^x/aで置き換えた積分の値が、実際に求めたい最小値を取る保証がないからです。
（足し算で例えると、a1≦b1かつa2≦b2 だったらa1+a2≦b1+b2はいえます。しかし、a1+a2=b1+b2のときは、a1=b1かつa2=b2でないといけません。同様に、f(x)とg(x)が常に等しくないと、∫f(x)dx = ∫g(x)dxは言えません。）
よって、与えられた積分をそのまま計算して最小値を検討しないといけません。
aとbという二文字があるので、予選決勝法を使って考えます。
＜筆者の解答＞
第4問
直線を回転してできる局面からできる立体の体積を求める問題です。誘導が丁寧なので、うまく乗っていきましょう。
(1)これはベクトルを使って直線を表現できれば求まります。
(2) (1)で求まったPを、平面x=t上でx軸の周りに回転してできる図形がMの断面です。
このことからMの式が求まり、z=0とすれば答えです。
(3) (2)で考えた断面積を積分します。
＜筆者の解答＞
第5問
部屋の行き来を考える確率の問題です。(2)を最初に解いた方が楽だと思います。
(2)は部屋の行き来の仕方を考えて漸化式を立てます。
この漸化式を使ってn=2,3の場合の確率を計算し、期待値を計算することになります。
(3)は(2)の漸化式を解きます。
(4)k回目にもらう得点の期待値が、1*PA(k)+(-1)*PB(k)と書けるので、これの和が求める期待値です。
＜筆者の解答＞
