東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、東北大学の2004年の問題を取り上げます。
第1問
ベクトルと整数の融合問題です。とはいえ、ベクトル要素は薄めです。
(1)aとbの内積が条件式から求まるので、|ka+lb|^2を素直に展開しましょう。
(2)|ka+lb|^2=0 は変形すると、平方数A+平方数B=0の形になります。これが成立するには、A=B=0しかありません。
(3)|ka+lb|^2は、kとlの2次式になるので、予選決勝法で考えていきます。
＜筆者の解答＞
第2問
曲線の長さの合計値を考える問題です。与えられた式が威圧感たっぷりなうえに、場合分けも発生する、難しめの問題です。
(1)は、C1の大まかな概形を知ることが必要ですが、xが単調増加でyが上に凸だと分かれば、面積を計算するには十分です。計算結果が案の定、メチャクチャ汚いです。
(2)曲線の長さを求める公式に当てはめるだけなのですが、3通りの場合分けが必要で、それぞれの計算も骨が折れます。
＜筆者の解答＞
第3問
（筆者注：誤1<y0 正1=y0)
等差数列と等比数列それぞれの相加平均、相乗平均の極限を求める問題です。
流れは、まずxnとynの一般項を求めて、区分求積法で極限計算をするというものです。
相乗平均の方は、対数を取ってから極限を求めましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
（筆者注: p1+p2+p3+p4+p5+p6 =1)
歪なサイコロを題材にした確率の問題です。確率が歪なことを除けば、通常のサイコロの問題です。
(1)サイコロの目の出方を考えればよいでしょう。
(2)も(1)と同様です。与えられた条件から変数をp1の一本に絞ることができます。
＜筆者の解答＞
第5問
複素数の問題です。
zは絶対値1なので、z=cosθ=isinθとかけます。その上で(1)-(3)を解いていきます。(1)-(3)はそれぞれ独立した小問となっています。
(1)(2)は、zの式を代入してθを求めます。
(3)も基本的には同様で、まずθの条件式を求めます。
その後の掛け算は、複素数の掛け算が、角度の足し算になることを利用し計算を進めます。
[追記] (3)の答案で、nθを求める工程でミスがありました。+kπではなく、正しくは+2kπです。その結果最終結果が変わるので訂正した回答も載せておきます。
＜筆者の解答＞
[追記] (3)後半の訂正版です。
第6問
行列の計算問題です。
(1)は素直に計算するだけです。
(2)試しに、A,Bを3個、4個並べたものを計算すると、4個以上の積は、
I, A, B, AB, BA, ABA=BAB の6種類のどれかになることが分かります。
＜筆者の解答＞
