このシリーズでは、大阪大学の後期の数学の問題を解いていきます。
7回目の今回は2006年です。
第1問
三角形の面積の増減を調べる問題です。
O, A, P1, P2が1直線上に並ぶ瞬間を時刻0として、時刻tでの面積を考えていきます。
問題設定が若干抽象的なので、座標設定してしまいます。A(2,0)としてP1の角速度がP2のそれの2倍なことに注意して、時刻tでの面積を求めて、微分によって増減を調べればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第2問
放物線上に各頂点がある正三角形に関する問題です。
(1)これは中々難しい問題です。
△PQRが正三角形なことと、P(p,p^2), Q(q,q^2), R(r,r^2)と書けることを利用して処理していきます。
方針としては、「角度が全部60°になる→3つの関係式をつくる」か「長さが全部等しくなる→3つの関係式をつくる」が挙げられますが、前者の方が楽です。後者の場合は「長さ」を新しく設定する必要があるうえに、3つの式の処理の仕方も対称性を崩すので難しいです。
いずれにせよ、対称式にまとまるのはマグレに近いものがあり、狙って式変形するのは難しいです。
(2) △PQRの重心をG(X,Y)とすると、YはXとpq+qr+rpの式で書けるので、(1)の結果を使ってpq+qr+rpをXの式で表現できればお終いです。
＜筆者の解答＞
(1)別解
第3問
面積に関する極限の計算問題です。
2つの曲線の交点のx座標をθとしてSをθの式として計算して、極限を取ればよいだけです。a→∞のときθ→π/2となることに注意します。
＜筆者の解答＞
第4問
確率の問題です。
(1), (2)ともにAから番号kを引いたときに、そのkとx1,・・・,xmとの大小関係によって場合分けして状況を調べてp,qを求めていくのですが、意外と場合分けの数が多く面倒です。
1≦x1≦x2≦・・・・≦xm≦nと順番をつけると考えやすくなります。
＜筆者の解答＞
