東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、九州大学の2005年の問題を取り上げます。
第1問
直線とsinカーブに纏わる回転体の体積の問題です。
(1)接点のx座標をtとすると、f(x)=x+aとg(x)=2sinxについて、f(t)=g(t)とf'(t)=g'(t)が同時に成立します。
(2)グラフに描いて、素直に積分計算です。円錐の体積の知識を使えると積分の計算量が減らせます。
＜筆者の解答＞
第2問
行列を使ったベクトルの漸化式の問題です。
(1)は単なる計算問題です。
(2)漸化式から(1)を引くと、bを消去できます。
(3)A^nは、帰納法で求めてもよいし、今回の場合は2項定理でも求めることができます。
(4) (1)~(3)ができていれば簡単です。
＜筆者の解答＞
第3問
複素数の軌跡を求める問題です。
(1)は教科書レベルでしょう。判別式<0です。
(2)zの実部をx、虚部をyとしてtを消去しましょう。
(3) (2)の結果から、z=(cosθ-1) +isinθと書くことができますので、最数的にθが消えるように計算をしましょう。wの実部と虚部のとりうる値の範囲には注意です。
＜筆者の解答＞
第4問
ガウス記号付きの不等式を解く問題です。
ガウス記号のついた部分は整数であり、その中身の値には範囲があるので、自ずとガウス記号の整数の取りうる値に限りが出てきます。
(1)~(3)とも、それを念頭に解いていきます。(3)ではいくつか場合があるので、個別に調べます。
＜筆者の解答＞
第5問
（筆者注：直線x=a^2)
面積の増減について調べる問題です。
(1), (2)ともに教科書レベルの処理です。
(3) S(a)は単調増加なので、S(2)<1.35<S(3)を証明します。幸い、与えられているネイピア数の評価式が2.5<e<3と手計算しやすい値になっているので、電卓なしで何とかなります。
＜筆者の解答＞
