東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の2005年の問題を取り上げます。
第1問
三次関数と直線が3点で交わる条件を求める問題です。
この手の問題は、m=g(x)の形にしてg(x)のグラフを描いて解くのが基本です。
別解として、三次関数をグラフ化して、直線との交わり方を視覚的に捉える方法もあります。
＜筆者の解答＞
第2問
等式証明の問題です。
問題文にある通り、帰納法でガリガリ計算する問題となります。ゴールを見据えて、計算を見通し良く進める必要があります。
＜筆者の解答＞
第3問
4点を通る球面の半径を求める問題です。
せっかく直角が登場しているので、座標軸を設定すると見通しが良くなります。
これによりEの座標を求めることに注力しましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
パラメータ表示された放物線の通過領域を考える問題です。
(1)は単純な計算問題です。
(2)tを消去してあげると、放物線は、x,y,tanθの式で表現できます。tanθはあらゆる実数値を取ることができるので、Cの式をtanθの2次方程式とみなしたときに実数解を持つ条件を考えることになります。このとき、θ=π/2と3/2πだけは例外扱いなので、注意が必要です。
(3) (2)の答えから、Qのｘ座標の最大値が分かります。
＜筆者の解答＞
第5問
面積の極限の問題です。誘導が丁寧なので、うまく乗っていきましょう。
(1) f(x)=x^n, g(x)=alogx とすると、接点x=tにおいてf(t)=g(t)とf'(t)=g'(t)が同時に成立します。
(2)グラフを描いて素直に積分計算します。
(3)お馴染みの不等式証明ですね。両辺の差を取って微分して調べます。
(4)x=1/nとすると、(3)の不等式を使ってはさみうちに持ち込めます。
＜筆者の解答＞
