皆さん、こんにちは。
サザエさんの中で、カツオと中島がキャッチボールをしている最中にボールが飛んで行って窓を割ってしまって大目玉を食らうシーンがよく出てきますね。
それを見て考えてみたくなりました。カツオの投げたボールが絶対に届かないのはどこからなんだろう？って。
ということで今回は、投げられたボールが絶対に届かない領域を、ニュートンの運動方程式を使って求めてみます。
0. 状況設定
状況設定は以下のように考えます。
x軸を地面と平行だと考え、原点から質量mのボールを角度θの方向に初速v0で投げることを考えます。
また下向き（y軸負の方向）に重力が働き（重力加速度g）、空気抵抗は考慮しないものとします。
1. ボールの軌跡を求める
高校の物理で習ったと思いますが、ボールの運動を調べるには、x方向の運動とy方向の運動に分解して考えればよいのでした。
ということで、まずはx方向の運動から。
ボールに働いている力はy方向の重力だけなので、x方向には力が働きません。
力が働かないとき、物体は「等速直線運動」するのでした。
ボールのx方向の初速はv0cosθなので、x方向のボールの速度vxはこのまま一定です。
よって、t秒後のボールのx座標は、単純に速度×tで求まることになります。
次にy方向について。
y方向に働く力は重力-mgなので、ボールの加速度ayはニュートンの運動方程式F=maから下のようになります。
この加速度ayを一回tで積分すれば速度vyに、速度vyをさらにもう一回tで積分すればボールのy座標が求まることになります。
（積分区間は0~tに設定し、積分の前にt=0での値、つまり初期値を足しています）
こうして、時刻tでのボールの座標がx, yともに求まったので、tを消去すれはボールの軌跡が求まることになります。
ここで、tの分母が0になってしまうθ=90°の場合だけ例外処理しています（ボールを真上に打ち上げる場面を想定）。
③のように、yがxの2次関数で表現できました。この性質故に、2次関数のグラフの事を「放物線」と呼ぶのです。
簡単に、この放物線の性質を見てみると、
因数分解を使えば、着地点Lが、
平方完成を使えば、最高到達高度hが、
だと分かります。
なので、最もボールを遠くまで飛ばそうと思えば、⑤よりsin2θを最大にすればよいと分かります。その時のθはθ=45°です。
よって、体力測定などで砲丸投げなどの記録を伸ばしたければ、45°方向に投げることを意識するとよいと思います笑
2. ボールが絶対に届かない領域を調べる
さて、いよいよボールが絶対に届かない領域を調べます。
実際には、「ボールが届きうる領域D」を調べて、それを逆転させたもの、として求めます。
ここで、ボールの軌跡を再掲します。
ここで、「ボールの投げる角度θを変化させた時のこれらの軌跡の通過領域」が、「ボールが届きうる領域」になります。
（※初速v0は投げる人の腕力に依存すると考え、一定とします）
曲線の通過領域・・・大学入試でおなじみのテクニックですね。
まずは、θがcosとtanとばらばらの関数になってしまっているので、tanθで統一します。
θ=90°の場合は最後に組み込めばよいので、原則0°<θ<90°で考えます。このとき、tanθはプラスの値をいくらでも取れることになります。
ここから、通過領域を以下の2通りで解いていきます。高校数学の復習として追ってみてください。
(1) 逆像法
(2) 順像法
(1)逆像法
これは、③’をtanθの2次方程式と解釈して、これがプラスの解を持つようなx.yの条件を求める、という方法です。
とりあえず、tanθで整理すると⑦式のようになります。
登場する文字は全てプラスの数なので、
2次の係数：プラス、1次の係数:マイナス、定数項：プラス
だと分かります。この場合、解と係数の関係から、⑦の解はプラスのモノが2個存在。となるはずです。実数解であればの話ですが。
なので、⑦の判別式が0以上でさえあれば、⑦はプラスの解を持ちOKとなります。よって、
この⑧が、放物線③’の通過領域となります。図にすればθ=90°の場合の④もきっちり含んでいることが分かります。
(2)順像法
こちらは、xを固定してθを動かしたときのyの範囲を求める、という方法です。
③’をtanθの2次関数と見なして平方完成すれば、
となるので、yの取りうる範囲は、結局
となり、当然ながら(1)と全く同じ答えが得られます。
つまり、「ボールが届きうる領域」は上凸の放物線の下側、になるわけです。
これを逆転させれば、「ボールが絶対に届かない領域」となり、下図のようになるわけです。
カツオたちは、この斜線部の範囲に窓が収まるような場所で、キャッチボールをすればまず怒られないわけですね笑
こんな形で、高校数学で習う「曲線の通過領域」というのが応用できたりするわけです。
