東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、九州大学の2012年の問題を取り上げます。
第1問
円を回転してできる立体の体積を求める問題です。
グラフに円を書いてあげれば、非常に容易く体積を出せます。
＜筆者の解答＞
第2問
行列の計算問題です。
(1)A, Bともに、ベクトルの関係式を横に並べることで行列の関係式に直せます。２乗は、行列の形からケーリーハミルトンの定理を使ったほうが手っ取り早いです。
(2)も、C=ABに対してケーリーハミルトンの定理を適用します。
(3) (1), (2)の事実を使うと、実質、E, C, C^2, A, CA, C^2A, B, BC, BC^2, BA, BCA, BC^2Aの12種類を調べればよいことがわかります。
あとは、これらを総当たりで確認するしかないです。
＜筆者の解答＞
第3問
絶対値付の2次方程式について考える問題です。絶対値の処理が煩雑な難問だと言えます。
(1)については２通りの解き方が考えられます。
１つ目は、f(x) = √n(x+1)/ (x^2 + |x+1| + n-1)とおいて、y=f(x)とy=aの交点の個数を考える方法です。視覚的にわかりやすく解くことができます。
２つ目は、先に絶対値を外して場合分けをし、各々が実数解を持つ条件を調べる方法です。こちらは考えるべき条件が多くミスを誘発しやすいのであまりオススメしません。あくまで、分数関数の微分を知らない文系の方向けの解き方です。
いずれにせよ、絶対値を外す時の場合分けは避けて通れないので厄介です。
(2)は、(1)で求めたaの範囲について、nを動かしたときの共通部分を調べればよいです。その際、aの最小値と最大値がどのように変化するかを調べておく必要があります。
＜筆者の解答＞
第4問
２次方程式の解が作る数列の極限について考える問題です。
(1)解と係数の関係を使ってα+βとαβを求めて、個別に計算します。
(2) |α|<1 かつ|β|<1 のケースと、|α|>1かつ|β|>1のケースに分かれるので、場合分けして考えます。
(3) (2)の結果から、(1+√5) /2は整数でないので、( |α|-1) ( |β|-1)<0でないといけません。ここで|α|<1<|β|としても一般性を失わないので、このもとで問題文の極限を計算すると|β|となります。
α+βとαβがともに整数になることから、|β| = | (1+√5) /2|ならば、|α| =| (1-√5) /2| となることがすぐにわかります。
＜筆者の解答＞
第5問
確率の問題です。
Tを一回行うと、Aの中に入っている黒の個数がどのように変化するかを図にまとめておきましょう。この図から漸化式を立てることができます。
(1)-(3)はすべて、この漸化式を使って解くことができます。
＜筆者の解答＞
