東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の2011年の問題を取り上げます。
第1問
ガウス記号付きの２次方程式を解く問題です。非常に易しい問題です。
(1)は２次不等式を解くだけです。
(2) [x]は整数なので、[x]の候補は(1)で求まっています。
(3)[x]の候補が限られているので、個別に確認しましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
行列に関する条件の必要性、十分性を確認する問題です。
(1)は、ケーリーハミルトンの定理を使えば明らかです。（逆は必ずしも成り立たないです）
(2)ad-bc≠0と仮定すると矛盾が発生することを示します。
ad-bc≠0のとき、Aには逆行列があるので、A^n=Oにこれをかけ続けると、I = Oという矛盾した結果が出てきます。
(3) (2)と合わせると、残りa+d=0が言えれば十分です。これまたa+d≠0とすると矛盾が発生することを示します。
＜筆者の解答＞
第3問
球面と直線が交わる条件を求める問題です。
(1)は教科書レベルの問題です。円は、通る３点を決めれば一意に決まります。
(2) (1)の円の中心をDとすると、そもそもCとDはx,y座標が一致していないといけません。この時点でa,bの値が決まってしまいます。
直線Lと球面Sが交わるとき、CとLとの距離がSの半径以下となるので、この距離とSの半径を調べましょう。
CとLとの距離は、L上の点T(t+2, t+2, t)とCとの距離の最小値になります。
＜筆者の解答＞
第4問
球を次から次へと隣の箱に移し替えていく状況を考える場合の数の問題です。
問題文がごちゃごちゃしていますが、要は、白か赤の玉１個が等確率に隣の箱に移る という状況を考えています。そして、anは、箱n-1から白の玉が新しくやってくる場合になります。
(1) n=2のときは、箱１から白玉が１個移る場合の数ですし、n=3のときは、箱2から白玉が１個移る場合の数です。後者は、箱１からの玉の移り方によって場合分けが必要です。
(2) 箱1からの移り方は全部でq+r通りで、箱２以降の移り方は、それぞれq+r+1通りあります。
(3) 箱の中の白玉の個数はq個かq+1個しかないので、それを使ってanの漸化式を立てましょう。
(4) (3)よりanは階差数列の形になるので、一般項が求まります。
＜筆者の解答＞
第5問
積分で書かれた関数の増減を調べる問題です。
(1)は、積分の中身にxを突っ込むというお馴染みの操作になります。
(2) (1)で求まった式の正負を調べるのですが、ルートの中身同士を比べればいいですね。積和の公式を使って因数分解すると見通しが良いです。
(3) (2)の結果からF(x)の増減表がかけるので、極大と極小を与えるxの値は容易に求まります。
あとは、極大値極小値を求めるために積分計算を実行しましょう。
ルートが邪魔なので、中身を２乗の形にうまく書き換えたいです。
＜筆者の解答＞
