東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、九州大学の1993年の問題を取り上げます。
第1問
放物線を次々と作っていく問題です。
(1)解と係数の関係などを使って、中点の軌跡を求めましょう。
(2) (1)から、放物線の変化の仕方が分かるので、係数の漸化式を作って解きましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
球と直線に関する問題です。
(1)これは、教科書レベルの内積計算です。一見、なんでこんな舐めプな問題があるんだと不思議に思うわけですが・・・？
(2)cosθを訊かれているので、内積を使って求めます。
(3)は、座標のまま解くのは難しいので図形的に考察します。すると、PがK上にある限り、∠PACは(2)のθで一定値になることが分かります。そしてK上にはBもあります。
ここで、一見無意味に思えた(1)が威力を発揮することになります。(1)の結果からcosθの値を具体的に求めることができます。
あとは、X,Yの関係式を簡単にしていけばよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第3問
n文字をいくつかに分割する分割方法について考える問題です。
(1)抱き合わせにする2文字を決め、残りのn-2文字が全て単独で1グループにすればよいでしょう。
(2)は、3文字セットを１つ作る方法と、2文字セットを２つ作る方法の2パターンがあるので、それぞれ個数を数えます。後者の場合は、ダブりを解消するために、2!で割り算しないといけないことに要注意です。
(3) n文字を２つにわける方法を数えます。同数に分かれるかどうかが大事になるので、nの偶奇によって場合分けして考えます。同数に分かれるときだけ、例外的に2!で割らないといけません。
(4) k分割する方法は、
・「n+1」を単独1グループにして、残りをk-1分割する
・1~nをk分割して、そのどれかにn+1を入れる
の2パターンがあります。
＜筆者の解答＞
第4問
1次変換の問題です。
(1) (cosθ, sinθ)の像を調べて、θを消去しましょう。
(2) (1)のグラフを45°回転させます。
(3) (x0, y0)をAによって移動させて、tを消去します。
このとき、|x0| = |y0|となるか否かによる場合分けが発生します。
＜筆者の解答＞
第5問
微分方程式についての問題です。
(1)Qの速度ベクトルがQPベクトルと平行だという条件を処理します。
(2) (1)の微分方程式は残念ながらきれいに解くことができません。とはいえ、問題の状況から、Qの軌跡は単調減少になることが分かり、グラフの概形は書けるので、面積を式で書くことはできます。
積分計算は、まさに(1)の微分方程式を使って変数変換することで計算できます。
＜筆者の解答＞
