東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の1993年の問題を取り上げます。
第1問
整数問題です。
(1)漸化式から、xnとxn+1の偶奇は必ず異なります。
(2)x0を3で割った余りで分類して調べましょう。
(3) (1)(2)から、x1~x3のどれかは偶数で、かつどれかは9の倍数となります。
＜筆者の解答＞
第2問
正四面体の面上で∠APB>90°となるPの集合の面積を考える問題です。
(1)円周角の定理から、Pの存在範囲は、ABを直径とする半円の内側になります。
(2)は難しいです。
辺ABを含む面については(1)の考え方で良いのですが、辺ABを含まない面については、別個に考えないといけません。
究極的には、ABを直径にする球面の内側になるのですが、その球と四面体の面がどんな感じに交わるかを調べないといけないわけです。
ここは、ベクトルと座標設定を両方駆使して以下の条件処理をしていきましょう。
・Pは△BCD上にある
＜筆者の解答＞
第3問
行列の漸化式についての問題です、
(1)は、ケールーハミルトンの定理の証明そのものです。
(2) (1)から明らかでしょう。帰納法で示します。
(3) (2)で求まった漸化式を逆算すればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第4問
確率の問題です。
(1)Y=kとなる確率と、X1~X5のうち少なくともk以下が４つある確率をそれぞれ計算して掛け算すればよいです。
(2) p(N)は、(1)で和を取ったものです。極限は区分求積法で求まります。
＜筆者の解答＞
第5問
微分方程式の問題です。
(1)tanの加法定理を使って求めます。
(2) (1)の微分方程式を、そのままxで微分しても、いつまでもf(x)が付きまとってg(x)にできないので、f(x)= の形にしてからxで微分しましょう。
(3) (2)の微分方程式を解きましょう。
＜筆者の解答＞
