文系数学の最難関、一橋大学の2016年の問題を取り上げます。
第1問
指数を使った方程式を解く問題です。
指数の底が互いに素なので、2次方程式に帰着、、みたいな方法が使えません。
ところで、左辺の指数の底は27, 右辺の指数の底は25となっているので、xが十分大きい時は左辺の方が大きくなります。
よって、xが小さい数の時に実際に代入してみて、xがある値以上の時に左辺>右辺となることを数学的帰納法で証明すればOKです。
＜筆者の解答＞
第2問
数列の問題です。
anの一般項の式から、少なくともa3 = cos2θとなっていないといけません。まずはこれを満たすcosθを求めてしまいましょう。
上で求まった各候補について、an=cos(n-1)θになっているかどうかを確認しましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
確率の問題です。
ルールから、コインの状態は、「表2枚」「裏2枚」「表1枚・裏1枚」の3つしかないので、各状態の移り方を考えて漸化式を立てればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第4問
3次関数の最大値についての問題です。
y=f(x)の形状によって状況が変わるので丁寧に場合分けしましょう。
場合分けのパターンは以下の3つです。
1. f(x)が極値を持たないとき
2, f(x)が極値を持つが、定義域の外側にある時
3. f(x)が極値を持ち、定義域の内側にある時
＜筆者の解答＞
第5問(a)
ベクトルの大きさの比の取りうる値の範囲を調べる問題です。
まず、大きさのままだと如何ともしがたいので、とりあえず2乗して、右辺を|a|と|b|の式で表現しましょう。分子と分母がともに、|a|と|b|の2次式になっているので、x=|b|/|a|とおいて文字を1文字にすると見通しが良いです。
ここで、理系の受験生なら思考停止で微分して処理すると思いますが、文系の範囲では、分数関数の微分は使えません。なんとか微分を使わずに解きたいです。。。とはいえ、伝家の宝刀、相加相乗平均も使えなさそうです。
ここで、発想の仕方を変えてみましょう。都合の悪いrを持ってくると、xが正の実数で取れなくなってしまいます。何が言いたいかと言えば、出てきた式をxの2次方程式にして、「これが正の実数解を持つようなrの条件を求める」と問題の解釈を変えてしまうわけです。
こうすれば、よくある2次方程式の解の配置問題になります。
＜筆者の解答＞
第5問(b)
統計の問題です。
(1)は素直に式計算をするだけです。
(2)相関係数を計算するには、Xの標準偏差、Yの標準偏差、X,Yの共分散の３つの数値が必要です。それぞれを地道に計算しましょう。共分散の計算に(1)の式を使うことができます。
(3) (2)の答えでxをx+2に変えても値が変わらないので、xの方程式をひたすら解いていきます。
＜筆者の解答＞
