文系数学の最難関、一橋大学の2017年の問題を取り上げます。
第1問
対数の最大最小を求める問題です。
(1)対数の足し算は中身の掛け算になるので、2次関数の最大最小に帰着します。
(2) 対数の底が違ってしまっているので、これを変換公式で揃えましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
整数問題です。
とりあえず7という数字が邪魔なので、両辺を引き算すると、zをx,yで表現できるので、zを消去できます。
その後、2乗+2乗=7の式にできるので、x,yの取りうる値の範囲を絞ることができます。
絞った後は総当たりで調査で良いでしょう。
＜筆者の解答＞
第3問
恒等式の問題です。
まずはP(x)の次数を決めないといけません。P(x+1), P(x)の最高次の係数は一緒なので、引き算すると消えます。このことから、P(x)は2次式だと予想できます。
この後、P(x)が2次式という前提で恒等式を処理するとP(x)が決まります。
P(x)が3次以上である可能性がまだ排除できていないので、3次以上でないことの証明を最後に行いました。
P(x)= Q(x) + (さっき求まった2次式）としてあげると( Q(x)は3次以上）、Q(x+1)= Q(x)がxによらず成立しないといけないですが、これが成立する3次式は存在しないので、P(x)は2次式で確定です。
＜筆者の解答＞
第4問
直線で挟まれた領域の面積を考える問題です。
与えられた不等式で絶対値を外してあげると、それぞれが平行な2直線で挟まれた領域になるので、Dは平行四辺形になります。
＜筆者の解答＞
第5問
点列に関する問題です。
(1)l,m,nの方向ベクトルは簡単に求められるので、P2, P3の座標を文字で置いて、直交する条件を処理しましょう。
(2) OPnの座標について漸化式を立てて、地道に解いていきましょう。かなり計算は長いです。
＜筆者の解答＞
