東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、東北大学の1992年の問題を取り上げます。
第1問
行列の計算問題です。
(1)ABとBAを素直に計算して成分を比較しましょう。b=cとなるか否かで2通りの答えが出てきます。
(2) (1)の結果からAの形が2択に絞れるので、それぞれに対して、条件を満たすAを求めましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
ベクトルを使った軌跡の問題です。
aとbのなす角をθとすれば、|a+b|とa・bの両方をθで表現できるので、最後にθを消去しましょう。
|a+b|とa・bの取りうる値の範囲に注意しましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
動く点の軌跡についての問題です。
(1)x,yをtで微分すればvが求まります。
(2) dy/dxをtの式で表して積分します。積分は気づければあっさり解けます。
＜筆者の解答＞
第4問
すごろくの点の位置の確率分布を考える問題です。
(1)X=kとなるサイコロの出方を全てリストアップすればよいです。
(2)確率の対称性から、E(X)=0は簡単に求まります。分散V(X)は、一般に、
E(X^2)-{E(x) }^2で計算できます。
(3) 29や28になるのは相当なレアケースで、ほとんどの回で+5となっていないといけません。よって、一回の操作で+5とならない場合が何回ありうるかを考えましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
対数の和の値に関する問題で、本セット最難問です。
まず、対数の底が全部違っているので、全部eで揃えてしまいましょう。すると、loga, logb, logcだけの式になるので、それぞれA,B,Cとすれば、考える式を簡単にできます。
以降は、A,B,Cを動かして取りうる値を調べることになります。
(1)(2)予選決勝法で、Cだけ先に動かすことで、与式を上下で挟むことができ、それぞれの関数が1より大きく2より小さいことを示すことができます。
(3) 十分条件が、「a,b,cのうち少なくとも２つが等しい」であることはすぐに分かります。あとは、これが必要条件でもあることを示します。
すなわち、A,B,Cが全部違っているとき3/2になりえないことを示します。
＜筆者の解答＞
第6問
3次方程式が実数解を３つ条件をもつ条件を求める問題です。
左辺の三次関数が、
・極値をもつ
・極小値が－、極大値が+
となる条件を調べましょう。
＜筆者の解答＞
