文系数学の最難関、一橋大学の2012年の問題を取り上げます。
第1問
整数問題です。
余弦定理を使うことで、「方程式を満たす整数x,y,zを求める問題」となります。
(1)x,yが対称的になっていて、zだけ仲間外れになっているのでzを消去して考えます。すると、よくある因数分解を使った問題に帰着します。
(2) (1)と全く同じです。
(3)は難しいです。
(1)(2)と同じように因数分解の形まで持ち込めば、2^2a×3^(2b-1)を整数の積に分解するのですが、これが何通りに分解できるかを考えないといけません。
x-2^(a+1)×3^bが負になる可能性もあるので、これを排除しないといけないわけです。。
＜筆者の解答＞
第2問
3次関数と正方形の交点を数える問題です。
|x| + |y| = 2は正方形を表しており、3次関数共々原点について回転対称となっているので、x≧0の部分だけ考えればOKです。
3次関数の形状によって細かく場合分けしないといけません。図を描きながら、どんな場合分けを考えればよいかを考えましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
いわゆる「1次変換」を題材にした問題です。理系であれば「行列」という形で普通に習っていた（過去形）内容ですが、文系向けに換骨奪胎したような問題です。
(1)問題文に従って、C上の点(t, t^2-t+k)を移してみましょう。移った先の点もC上にあるという条件から係数比較していきます。
(2)Aにおける接線とA'における接線が、直交し、かつ原点を通るという条件からkを決定しましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
正方形の影の形状を考察する問題です。
(1)Z軸を含む平面で切ってしまえば、相似形を考えればよいことが分かります。
(2) (1)と同様にRの座標を求めるのですが、対称性からQを辺AB上に一旦固定して考えれば十分です。まずは、この状態で、Rの座標をベクトルを使って計算しましょう。
結果、Qを固定したとき半径1の円周上をRが動くことが分かるので、さらにQを動かしてあげれば、この円の通過した部分こそがRの存在範囲になります。
＜筆者の解答＞
第5問
確率の問題です。
(1)n回の操作の後に、1が上面にくる確率をan, 1が側面に来る確率をbn, 1が下面にくる確率をcnとして、漸化式を立てましょう。
(2) (1)を使えば、1が上面にくる確率はan、6が上面にくる確率はcn、対称性から2~5が上面にくる確率はそれぞれbn/4となります。
＜筆者の解答＞
