文系数学の最難関、一橋大学の2011年の問題を取り上げます。
第1問
整数問題です。見た目はよく似ていますが、異なるテクニックが要求されます。
(1)両辺にxyをかけて因数分解の形に持ち込みましょう。
(2) (1)と同じようにxyzをかけてもうまく因数分解できません。よって、1文字を確定させて2文字にし、(1)と同様の状況に持ち込む必要があります。
1文字を確定させるヒントが、x<y<zです。これを使うと、xの候補が限られてきます。
（答案ではx>1を失念してx=1の場合も書いてしまっています。。すみません）
＜筆者の解答＞
第2問
折れ線の長さの最小値を考える問題です。
「折れ線の長さの最小値」というキーワードを見たら、対称な点を作って、考える折れ線を「1本の直線」に置き換えていく、という解き方が定石になります。
(1)~(3)のすべての場合で、図を描いて対称な点を描いて考えましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
2次関数と直線で囲まれる面積についての問題です。
(1)図を描けばわかりますが、APの傾きが、AにおけるCの接線よりも寝ていればよいわけです。
(2)Qの座標を具体的に計算して積分計算を実行しましょう。そのあとはS1+S2の増減を微分で調べます。
＜筆者の解答＞
第4問
三角錐の各面の面積についての問題です。
(1)面積の公式からSがa,b,cを使って求められるので、それを使えば高さの計算は簡単です。
(2)S1~S3を具体的に計算して、3S^2 と(S1+S2+S3)^2の大小関係を調べましょう。対称性を生かして、平方完成することを念頭に置いてみましょう。
(3) (2)ができていれば瞬殺です。
＜筆者の解答＞
第5問
確率の問題です。番の回ってくる確率、その上で勝つ確率をそれぞれ考える必要があります。
(1)n回目にBが投げる確率をbnとおいて漸化式を立てて解きましょう。
(2) pn = 1/6anです。
(3) qn =Σpkです。
＜筆者の解答＞
