私立最難関の一角、早稲田大学の理工学部の問題を取り上げます。今回は2009年です。
第1問
ガウス記号の入った式の計算問題です。
(1) xの整数部分と、3x/7の整数部分を調べましょう。
(2) m≦x<m+1とおいて計算します。mの偶奇による場合分けが発生します。
(3) (2)と基本的にやり方は同じです。mをnで割った時の余りをpとおいて検討しましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
一次変換についての問題です。
(1) l1上の点(t,1)を、A, A^(-1)によって移動してみましょう。
(2) l1, l2, l3 の式を連立して求めます。
(3)辺PQを底辺として考えるとわかりやすいと思います。
(4) S(a)を微分して考えます。
＜筆者の解答＞
第3問
確率の問題です。
(1) 第1対を含む4枚の取り出し方は、1以外の残り18枚から2枚を取り出す方法に等しいです。
(2) ペアが2つ含まれる取り出し方は1通りしかないですね。
(3)A1, A2, A3が起こる確率は対称性から等しく、これらの2つが同時に起こる確率も対称性から等しく、３つは同時に起きません。ベン図を使って和事象の確率を計算しましょう。
(4) 第i対と第j対が両方含まれる確率と、第i対のみ含まれる確率をそれぞれ計算しましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
母線の長さが等しい四角錐の体積を最大化する問題です。誘導が丁寧なのでうまく乗っていきましょう。
(1)座標軸をうまく設定して処理したいです。すると、対角線が直行するときに面積が最大になるとわかります。
(2) lは、0<l≦2rを満たすので、(1)の結果をlを動かして考えます。
(3) Oを中心にした半径１の球面を考えると、ABCDはいずれもこの球面上にあり、さらに同一平面上にあるので、同一円周上にあります。。四角錐の高さをhとしたときに、ABCDがどんな円周上にあるかを考えると、(2)を使って底面積をhで書くことができます。
＜筆者の解答＞
第5問
関数のグラフ、積分の処理、極限計算の問題です。
(1) f'(x)を計算して増減を調べましょう。
(2)計算が少し面倒ですが、g(t)を素直に計算しましょう。
(3) 与えられた不等式を使って、はさみうちの定理の適用を考えます。
＜筆者の解答＞
