ヨビノリさんの企画、「数学夏祭り」に参加しております。
本日8/31に出題された、第1問はこちら、
大学入試でよく見る整数問題ですね。が、分母の79という数字や、右辺の分子にrという未知数が入っているのが面倒くさいですね。。。早速やっていきましょう。
（筆者の解答時間は40分でした）
筆者の解答
訂正：(p,q,r) = (80, 79×80, 1）が漏れているので追加します。
また、qは後ろから5番目なので、79×20です。よってq×r=25280が正解です。
問題は最後まできちんと読まなくてはダメでしたね。。
まず思うことは、「分数はイヤだ！！」ですね。
なので、分母を全部取っ払ってしまいます。
すると、pqrが79の倍数となることが分かります。
ここで、一見汚く感じる79という数字、この問題では好都合です。なぜなら、79は素数だからです！！
この事実を使うと、rが79未満なのでrが79と互いに素だと言えます。よって、
pqが79の倍数といえ、これは、pとqの少なくともどっちかは79の倍数となることを意味します！！
このことから、p,qが79で割り切れるときor割り切れないとき という場合分けが発生しそうです。
次に、まだ使っていない条件、p≦qを使いましょう。
整数問題の常套手段で、「文字をpかqかのどちらかに統一することで範囲を絞る」というテクニックがありますが、今回はpに合わせるとご利益があります。
実際、
1/p + 1/p ≧ 1/p +1/q =r/79 →pr ≦158 といった具合に、積を上から押さえつけることができます。
このことから、pは158以下と分かりました。
ここから、pが79で割り切れるか否かの場合分けに入ります。
[Ⅰ] pが79で割り切れるとき
pは158以下だと分かっているので、pは79か158以外に候補はありません！
それぞれを代入して検討すればよいでしょう。
(ⅰ) p=79のとき、
q= 79 ÷ (r-1)となり、qが整数となるためには、r-1が79の正の約数でないといけませんね。ここでも79が素数という性質が役立ち、r-1 = 1, 79しかありえません。
r<79を加味すると、r=2だけです。
(ⅱ) p=158のとき、
やることは(ⅰ)と一緒です。r<79だけでなく、p≦qも加味すれば絞ることができます。
[Ⅱ] pが79で割り切れないとき、
pとqの少なくともどっちかは79の倍数となるので、qが79の倍数となり、
q = 79m (mは自然数）と書けます
このとき、p = 79m ÷ (mr-1) となります。
m=1のときは結局[Ⅰ]のケースに合流するので、m≧2のときを考えます。
m≧2のときは、ユークリッドの互除法を使うと、mとmr-1が互いに素だと言えます。
よって、pが整数となるためには、mr-1が79の正の約数でなければならないと分かります。
よって、mr=2、またはmr=80の2択に絞ることができ、mr=2のケースは[Ⅰ]のケースに合流します。よって、新規に考えるべきはmr=80の時です。
このとき、(p,q,r) = (m, 79m, 80/m)とmの式で全てかけるので、mに80の2以上の約数を代入したものすべてが解となります。
以上から、(p,q,r)の組が全て求まったことになり、あとは条件に見合うqとrを調べて掛け算するだけです。
この難易度は、東大クラスなら出てもおかしくない（合否の差をつけるぐらいの難易度）くらいの難易度かと思います。
