このシリーズでは、平成の一橋数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
一橋の後期は文系向けにも関わらず数Ⅲが出題範囲に含まれています。なので、どうしても数Ⅲの知識が不可避な問題については「※数Ⅲ必須」とコメントを付けておきます。数Ⅲやってないよ、という文系志望の方は、このコメントのない問題を中心に見ておけばよいと思います。
2回目の今回は2018年になります。
第1問
整数問題です。
a^4 -b^2の形を作れば因数分解で積の形がつくれるので、それを手掛かりにして解き進めていきます。
＜筆者の解答＞
第2問
3次方程式の解に関する問題です。
当然ながら解と係数の関係を使うのですが、特に2次の係数が0というのが嬉しい情報です。ここからsinθ-cosθ+sin3θ=0が分かるので、これを解いてθの候補を絞ることができます。あとは、定数項から出てくる条件に符合するθは何かを確かめてあげればOKです。
＜筆者の解答＞
第3問 ※数Ⅲ必須
三角形の面積最大化の問題です。
問題文のままでは抽象的で解きにくいので、座標軸を設定してあげるとよいです。対称性がよくなるので、円の中心を原点に、Q,Rをy軸対称に配置すると見通しがよくなります。
そうして予選決勝法を使うと最大値を求めることができます。
＜筆者の解答＞
第4問
整数の組数を数える問題です。
a<b<cの三角形が作れる条件はa+b>cなので、この2条件を満たすa,b,cの組を探すことになります。
(1)これは総当たりで調べた方が早いでしょう。ちなみに、この段階でS2=1が分かります。
(2)文字を固定して考えると考えやすくなります。
答案では、aとcの幅をkで固定してbの個数を数え、その後にaの固定を外す、続いてkの固定を外す、という形で和を取っています。
この方法を取る場合、aとkの大小で場合分けが発生します。
＜筆者の解答＞
第5問(a) ※数Ⅲ必須
積分で与えられた関数を最小化する問題です。
基本的には積分を解いてa,bについて平方完成する、だけの問題です。
積分を解く際には、奇関数の部分は0になることを使うとだいぶ楽になります。
＜筆者の解答＞
第5問(b)
標準偏差に関する証明問題です。
(1),(2)いずれについても、背理法を使って「平方数の和<0」という矛盾を導くことで証明できます。
＜筆者の解答＞
