このシリーズでは、平成の九大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
5回目の今回は2015年になります。
第1問
ベクトルの問題です。
(1) PがAJ上にあるのでAPはAJの定数倍であり、Pは平面BEI上にあるので、AB, AI, AEの係数の和は1になります。
(2)平面BEIの式を求めることに終始します。
(3) (1)で求めたAPベクトルが(2)で求めた法線ベクトルと平行になればよいわけです。
＜筆者の解答＞
第2問
確率の問題です。
(1) 勝者がA→A, B→A→A, A→B→Aのどれかであればよいわけです。
(2) 最後にAが2連勝するまでは、AとBが交互に勝ち続けます。この交互に勝ち続ける状況が何サイクル続くかで考えるとよいでしょう。最終的には無限等比級数を考えることになります。AとBのどっちが先制するかで場合分けが発生します。
(3) (1)と(2)を比較して不等式を解くだけです。
＜筆者の解答＞
第3問
max関数の最小値を考える問題です。場合分けが煩雑な難問だと思います。
(1) xyの値によってxyと1-xyのどっちが大きいかが変わるので、まずxyの値による場合分けが発生します。
このとき、xを固定してyを動かしたときのmax(xy, 1-xy)の最小値F(x)を求めてグラフにすればよいのですが、0≦y≦1の縛りがあるので、xの値による場合分けも必要になってきます。
結果の1/2は、直感的には当たり前の結果ですね。
(2) (1)の情報を使うと、0≦xy≦1/2のときにはmax(1-xy, x,y), 1/2≦xy≦1のときにはmax(xy,x,y)を考えることになります。ここで、xとyは対称な関係なので、適当にy≧xと大小関係を決めてしまうと見通しがよくなります。
後者の場合はxyがx,y以下なのは明らかなので考える関数の正体はyで確定しますが、問題は前者です。(1)と同じようにxを固定して考えてみましょう。ここでもxの値による場合分けが発生します。
＜筆者の解答＞
第4問
無限級数に関する問題です。
(1)anはざっくり公比r^(1-α)の等比数列です。この公比が1未満の時だけ無限級数は収束するんでした。
(2) bn =an/r^αなので、(1)の結果をそのまま流用できます。
(3) a(r), b(r)の逆数を取ってあげると、微分係数の定義の形になって極限計算ができます。
＜筆者の解答＞
第5問
放物線と直線で囲まれる領域の面積を考える問題です。
(1) P(x,y)とすると、D(x,-1)とできるので、軌跡を計算できます。問題文を読んだ時点で「Cは放物線になる」と予測できるといいですね。lは準線、Fは焦点って奴です。
(2)Cとmの式を連立するだけです。
(3) lAとlBの傾きを計算して、積が-1であることを示しましょう。
(4) lAとlBの交点のx座標は、Aのx座標とBのx座標の平均値になるという、放物線の有名な性質があります。lAやlBの式を直接計算するのが面倒そうなので、この性質を直に使うと大幅ショートカットになります。
あとは、SA, SBをそれぞれ積分で計算しましょう。
＜筆者の解答＞
