2022年も大学入試のシーズンがやってきました。
今回は、名古屋大学の理系数学に挑戦します。
<概略> （カッコ内は解くのにかかった時間)
1. 多項式の割り算 (30分)
2. 確率と整数の融合問題 (30分)
3. 複素平面上での正六角形の配置 (35分)
4. 定積分の極限・評価 (50分) ※(3)は解けていません→ヒントを頂いた結果解けました。
計145分
<体感難易度>
2<1<3<4
例年に比べると（名古屋大としては）易しめのセットだとは思いますが、第4問の(3)はおそらく難問で、私自身初見のノーヒント状態では解くことができませんでした。難しい第4問以外を押さえるのが勝ち筋になったかと思います。
<個別解説>
第1問
多項式の割り算に関する問題です。
(1) x^3 =(x-a)^2Q(x)+px+qとおいて因数定理を使うのが基本です（※2次式で割っているので余りは1次以下ですね）。
単純にx=aを代入するだけでは条件式が1個しか出てこないので、上の関係式を一回xで微分してからx=aを代入するともう1つ条件が求まります。
(2) f(x)=0が重解を持つか持たないかで大きく場合分けが発生します。
重解を持つ場合は、(1)の結果を使うことでb,α, βが全て決まってしまいます。
重解を持たない場合は、因数定理で余りの条件式を２つ抽出し、解と係数の関係を使うことでβ, bをαの式で表現できます。bはαの3次式で求まるので、これをαの方程式と見なしたときのαの個数がそのままf(x)の個数になります。
＜筆者の回答＞
第2問
確率と整数の融合問題です。といいつつ、ほとんど条件を満たす(a,b,c)の組数を数えることに終始する整数問題の色彩が濃いです。
(1) cだけが仲間外れになっているので、cの値で場合分けして(a,b,c)の組数を調べるとよいでしょう。
(2) ab+2cと2abcの最大公約数dは、ユークリッドの互除法を使うとac+2cと4c^2の最大公約数と等しいことが分かります。
ここでもcが仲間外れなのでcの値で場合分けしてd=1となるようにaとbを決めていきましょう。
＜筆者の回答＞
第3問
複素数平面上の正六角形の配置を考える問題です。個人的に解いてて楽しかった問題です。
(1) 2番目の方程式を解くことでβ/αが2つ求まり、1つ目の偏角の条件から１つに決まります。
大事なのはβ/αの値の持つ意味です。複素数の比というのは、「縮尺」と「回転」の両方の情報を持ってるんでした。今回の場合は、βは、αを長さ2倍にして原点の周りに60°回転したものになります。
この条件に当てはまる頂点の組み合わせは１つしかありません。
(2) 3つめの方程式は綺麗に因数分解出来て、γ=(α+β)/2かγ=α+1に絞られます。前者は(1)で求まった2点の中点ですが、残念ながらこちらは頂点になりえないのでNGです。よって後者一択になるのですが、後者はαを実軸方向に+1移動した点になります。
あとは、Oでもαでもβでもない残り3つの頂点のどれがγになるかで、3通りの正六角形が求まることになります。
[3/1追記] 答案の(α,β,γ)に一部誤植がありました。訂正内容は以下となります。
(i) βとγが逆になってます。
(iii) βの値にiを追加しします。
正六角形の図示には影響ありません。すみませんでした。
＜筆者の回答＞
第4問
積分の極限と不等式評価の問題です。抽象的な関数を取り扱っていることもあり、本セット最難問の地位は揺らがないと思います。
(1) f(x)が単調増加なので、積分区間の中ではf(0)≦f(x)≦f(2-1/n)が成り立ちます。これを利用して積分を不等式評価し、「追い出しの定理」を使えば良さそうです。
(2) 前半に関しては(1)とやることがほぼ一緒です。Fn(y)が単調増加で無限大に発散することが分かるので、Fn(y)はy>2+1/nで任意の正の実数値を取ることができますし、さらにyとFn(y)の値も1対1対応します。
(1)で考えた積分値は正の値なので、以上をまとめればFn(an)=(1)の積分、となるanが必ず１つ見つかるということになり、それを変形すると問題文の式になります。
(3)こちらは長考を重ねましたが、結局解けずじまいになってしまいました。
(1)の積分値はnを増やせば増やすほど大きくなっていくので、(2)の知見からanが単調増加になることは分かるのですが、これが４という上限値を持つことをどう示せばいいのか、さっぱりわかりませんでした。
(2)までで使った不等式を使えば何とかなるかとも思いましたが、結局うまくいかず。後日改めて考え直してみます。
[3/2追記]
ツイッターのフォロワーさんから「f(4-x)を考えてみて下さい」とのヒントを教えて頂いた結果、無事解くことが出来ました。
具体的には、Fn(y)の積分をx=4-tと変換することで、(2)の方程式に登場する積分区間を統一できる、という話で、その後各積分の符号の情報からan<4が示せるという流れです。
初見で、この変数変換は思いつきませんでした。。。誘導無しで試験場で解くのはやっぱり難しい問題でしたね、この(3)は。
＜筆者の回答＞
