このシリーズでは、平成の東京工業大学の後期日程の数学の問題を解いていきます。
3回目の今回は2009年です。
第1問
光源の影の形状を調べる問題です。これは、如何に「影」というものを数式に落とし込むかがポイントになります。
A(X,Y,0)と置いたとき、光線CAを考えてみます。もしAが球の影に隠れるなら、この光線が「球を貫通する」ことになります。なので、「直線CAが球面と交点を持つ」＝「直線CAと球の中心(0,0,1)との距離が１以下である」条件が、Aが影に含まれる条件になります。
直線CA上の点Pの座標をパラメータ表示し、(0,0,1)との距離が最小になるようにPを決めて、その距離の最小値が1以下になる条件を整理していけばOKです。
＜筆者の解答＞
第2問
双曲線の接線に関する問題です。
x=sでのy=-1/xの接線の式を調べ、それがPを通る条件を考えることで、AとBのx座標が求まります。それを下に△PABの面積を計算していけばよいでしょう。
＜筆者の解答＞
