このシリーズでは、平成の東京工業大学の後期日程の数学の問題を解いていきます。
8回目の今回は2004年です。
第1問
順列の問題です。「ラテン方格」の１次元版のような設定ですね。
(1) 先頭の数字が2,3,4の場合で、それぞれ列挙してあげればよいです。
(2)発想力の必要な難問だと思います。
まず先頭の数字は1じゃない数字k (2≦k≦n)になります。このとき、単純に1とkの入れ替えと2~n(k以外)の数字の並べ替えを独立にやってよいか否かで様相が変わるので、場合分けを行います。
k番目の数字が1のとき、1とkが単純に入れ替わるだけなので、残りの数字の並べ替えは1,kとは独立に行うことができます。よって、このような並べ方はD(n-2)通りあることになります。
問題は、k番目の数字が1じゃないときです。この時の考え方が難しいのですが、
元の並びで、1以外の数字を全て番号違いになるようになるように並べる
↓
1とkを入れ替える
で、このような並べ方が実現できます。なので、並べ方はD(n-1)通りあるということになります。
＜筆者の解答＞
第2問
２曲線の交点に関する問題です。
f(x)=n^x - x^nとして考えていきます。
(1) x<0のとき、n^xは増加関数でx^nは減少関数なので、f(x)全体は単調増加になります。なのでf(x)=0の解は１個以下で、さらにf(0)=1>0, f(-1)<0と符合違いになる箇所があるので、１個解があることが確定します。
(2) x≧0について考えていきます。x=nのときにf(x)=0が成立することは明らかなので、それ以外にf(x)=0の解があるかどうかをチェックすればOKです。f(x)=0を同値変形すると、logx/x=logn/nとなるので、g(x)=logx/xのグラフを考えればよさそうです。
(3) Pnのx座標を-anとすると、an^n=n^(-an)となり、これを同値変形すると、logan/an=-logn/nとなります。ここからn→∞で、logan/an→0となるので、an→∞かan→1の2択に絞れます。前者が不適なことを示してあげれば、Pnの収束先が綺麗に求まります。
＜筆者の解答＞
