このシリーズでは、京都府立医科大学の数学の問題を解いていきます。
13回目の今回は2010年です。
第1問
（訂正：Pのx座標は1ではなくt)
楕円の接線・法線に関する問題です。
(1)「Pを通る直線がCに接する＝連立した方程式が重解を持つ条件を調べる」という方針だと計算が非常にしんどくなってしまいます。
ここは、別の方法である、「C上の点(x0, y0)でのCの接線はx0x/2+y0y=1と書ける。その直線がPを通る条件から(x0,y0)を求める」という方針で攻めた方が計算量が少なくて済みます。
(2) l1, l2が軸平行になるt=√2の場合だけ例外扱いとし、(1)の結果から傾きを調べてm1,m2の式を愚直に計算していきます。
(3) tを消去するのは容易いので、xの動く範囲だけチェックすればよいでしょう。
(4)公式通りに面積を計算していきますが、実はOPとOSは垂直になります。
＜筆者の解答＞
第2問
割り算の商と余りに関する問題です。見た目はかなり難しく見えますが、実は見掛け倒しです。
(1)M=nM1+a1, M1=nM2+a2,・・・・となるので、代入することでM1~を消してあげるとよいです。
(2)(3)
基本的に(1)の結果から、M-f(M)はn-1の整数倍×aiの和になります。この時点でM-f(M)がn-1の倍数で0以上なのは明らかで、aiが全て0のときだけ0になります。
ただし、k=1の場合だけ例外処理が発生します。
(4)(5)
(3)の結果から、Mをn-1で割った余りとf(M)をn-1で割った余りは等しくなることが分かります。このことから、f(M),・・・,fs(M)は、すべてn-1で割った余りがMのそれと等しいです。あとは、そのような数でn未満となるものを見つければOKです。
(4)の場合はR(M)が0とn-1の両方があり得そうに見えますが、R(M)=0としてしまうと、fs-1(M)=0となってしまってsが「fj(M)<nとなる最小のj」という条件と反してしまいます。
＜筆者の解答＞
第3問
２曲線の交点と、回転体の体積を計算する問題です。
(1)(2)
交点のx座標は、f(x)=C1の式ーC2の式、とおいたときf(x)=0の実数解です。なのでf(x)の増減を調べることがメインテーマです。
f'(x)を計算すると、aによらずx=0は必ずf'(x)を0にします。しかし、それ以外のf'(x)=0の解がa>1のときには存在せず、0<a<1のときには存在します。これがf(x)の増減の違いとなって現れることになります。
(1)は、f(x)の最小値が0よりも大きくなること、(2)はf(x)が0になる瞬間が存在することをそれぞれ説明していきます。
(3)C1の変曲点を調べればすぐさま解けます。
(4)定石通りの積分計算です。yでの積分を置換してxでの積分に書き換えていきます。
図を描いてて思いましたが、C1とC2の大小関係を間違えやすいので注意しましょう（答案のVについた不自然なマイナスは、上下関係をしくじったことに最後に気が付いたので、後付けで修正したものです笑）
＜筆者の解答＞
第4問
直方体から、相似な直方体を次々に切り出していく問題です。
(1)Uの3辺の長さの比が1:p:qになっていることを確かめます。問題文にある様々な条件のおかげで辺の大小関係はすぐに分かります。
(2)操作が非常に長ったらしい文章ですが、要するに(1)と同じ要領でVkから切り出した相似な直方体がVk+1ということになります。
なので、V0とV1の相似比さえわかれば辺の長さは調べられます。
(3)こちらは面倒ですが、操作ごとに図に描いて座標計算していくほかありません。
q-1=1/p=p^2 -1の関係式から全ての座標値をpの多項式で表現できます。
P6まで調べてあげると、V6がV0と同じ向きに戻っていて、かつP0とP6の位置関係が同じになっていることが分かります。これが(4)攻略のカギになっています。
(4)V0からV6を作る過程で、P0は、a=P0P6ベクトルの分だけ移動しています。前述のように、V0,V6は同じ向きでP0,P6は同じ位置関係にあるので、ここからP7~P12を調べると全く同じ操作が行われることになります。変わったのは、６回分の相似比が作用してるという点だけです。マトリョーシカのようなものです。
この考え方から、P6からP12へはraベクトル(rは6回分の相似比）だけ移動、P12からP18へはr^2*aベクトルだけ移動する、ということになるので、P6nの座標は、P0の座標+a+ra+r^2*a+・・・+r^(n-1)*aと書けることになります。
これは等比数列の和に他ならないので、極限計算が容易にできることになります。pに関する方程式(q-1=1/p=p^2 -1)を利用すると、どんどんpの次数を下げることができ、最終的に超シンプルな結果が得られます。
＜筆者の解答＞
