このシリーズでは、東京医科歯科大学の数学の問題を解いていきます。
3回目の今回は2020年です。
第1問
確率の問題で、本セット最難問と思われます。
f(x)を作るルールは、表が出れば1増える、裏が出れば1減る、整数の間の部分は直線で繋ぐ。大体この理解で大丈夫です。
(1)ルール確認の問題で、上記のルールに従ってグラフ化していきます。
(2)ここからが本番です。
f(x)のグラフは「表→裏」と変化すると極大に、「裏→表」と変化すると極小となります。
ということで(2)は実質、「表裏がk回切り替わるような出方を調べろ」という問題となります。
これは、「ボールをN個横一列に並べて、その隙間N-1個からk個を選んで仕切りを入れてk+1分割する方法」の「2倍」で計算できます。2倍にする理由は、k+1分割して左から「表→裏→・・・」と割り振る方法と左から「裏→表→・・・」と割り振る方法の2パターンがあるからです。
(3)さらに「極大」に限定されているので、「表→裏」に切り替わる現象がk回発生する出方を調べていきます。
これは、表裏の切り替わりがm回起こるときに、表→裏に何回切り替わるかをmの式で表現して(2)に帰着させて解けばよいのですが、mの偶奇による場合分けと、1回目に表が出るか裏が出るかの場合分けが発生します。
最終的にQ(k)={ P(2k-1)+2P(2k)+P(2k+1) }/2と書けることが分かり、これを答えにしてしまってもよいと思いますが、(4)を見越して2項係数をまとめておくとなおよいでしょう。それには、「nCr=n-1Cr + n-1Cr-1」という公式を利用します。
（※この公式の解説は以下の記事の第1問参照
平成の東大理系後期数学 -1995年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com) ）
(4) 要するに(3)のkの期待値の計算です。Q(k)には2項係数が登場しているので、2項定理の適用を考えます。
とはいえΣkQ(k)の直接計算は困難を極めるため、分母が計算できて簡単にしやすいΣ(2k+1)Q(k)の計算から間接的に求めることにします。
そうすると、偶数だけの2項定理に帰着されますが、それには(1+1)^nの展開と(1-1)^nの展開を利用すればよいです。
＜筆者の解答＞
第2問
複素数平面の問題ですが、複素数要素は希薄で実質xy平面での軌跡、面積を考える問題です。
(1) C0~C2は全てαz+α*z*=2cの形をしています。この式でα=p+iq, z=x+iyを代入すると、px-qy=cとなって確かに直線だと分かります。
(2) (1)の結果からC0~C2を全てxy座標の直線の式として表現できるので、P1の座標を求めて、mを動かしたときの軌跡を考えればOKです。x,y座標の取りうる値のチェックを忘れずに。
(3)図を描いてS,Tを計算していきますが、SについてはS+Tの形の方が計算しやすいと思います。
＜筆者の解答＞
第3問
立体の体積を計算する問題です。
(1)t=1のとき四面体OPQRは、1辺の長さ√2の正四面体になります。なのでその体積を直接計算できます。
別解としては、長さ1の立方体から4つの合同な外側の三角錐を除去する、という解法もあります。
(2)一見するとV1は複雑な立体ですが、S(t+1,0,0), T(0,t+1,0), U(0,0,t+1)とすると、四面体OSTUから3つの四面体APRS, BPQT, CQRUを除去したものがV1だと気が付きます。
そして、除去される四面体は全て「底面がt×tの直角二等辺三角形、高さが1」なので体積計算も容易です。
(3) V2は容易に計算できるので、V1/V2をtで微分して増減を調べればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
