2024年も大学入試のシーズンがやってきました。
<概略> （カッコ内は解くのにかかった時間)
1. 円と直線で囲まれた図形の面積(25分)
2. 自然数の個数に関する漸化式(25分)
3. 四面体から作られる八面体の考察(70分) ※おそらく(4)は出題ミスだと思われます。
4. 確率漸化式 (30分)
5. パラメータ表示された曲線・回転体の体積(45分)
計195分
<体感難易度>
1<2=4<5<3
近年早稲田は大分易しくなってきました。今年もその傾向の例にもれず昨年に比べても解きやすい問題が多めだった印象です。
第１問は数Ⅱレベルの円と直線の方程式絡みの問題であり、確実に押さえたいです。
第２問もよくあるタイプの漸化式の問題であり押さえたい所。
第３問は四面体の問題で今回のセットの中では難問の部類です。本番では(2)までは解いて(3)にどれだけ食らいつけるかと言ったところです。
なお、(4)は(3)の結果が最大値が求まらない式になっていて定義域も決まらないため、おそらく出題ミスだと思います。公式がまだ何も声明を出してないため断定は避けますが。公式から声明があり、出題ミスであることが確定しました。
第４問は第２問に続いて典型的な漸化式の問題で、解き切りたいですね、(3)の設問に至っては、早稲田を受けるレベルの受験生には過剰です。
第５問はおなじみの曲線の概形を調べて回転体の体積を積分で計算させる問題ですね。第３問の後半を後回しにして、こちらの計算にリソースを割くべきです。積分計算が例のごとく煩雑です。
<個別解説>
第1問
円と直線で囲まれた図形の面積について考察する問題です。
やることは、
lの式を文字でおく→円に接する条件からx切片とy切片の関係を調べる→S+Tの式を求め微分で増減を調べる→SとTをそれぞれ計算する
という一本道であり、発想面で悩むことはないと思います。
最初のlの式を立てるときは、x切片y切片自体をそれぞれ文字で置いて立てるとよいと思います。そして最初からS,Tを個別に調べるのではなく、図形的にすぐに求まるS+Tをいきなり考察することがポイントでしたね。
その後S+Tが最大になる条件で接点を調べると、S,Tを計算するときに登場する扇形の中心角が、綺麗に有名角になってくれます。
＜筆者の解答＞
第2問
自然数の個数に関する漸化式を解く問題です。
3の倍数かどうかを調べる方法は小学校の時点で習う話ですが、それを深堀すると、
「nを3で割った余り＝nの各桁の数字を足したものを3で割った余り」となることが分かります。この知識が、漸化式を立てるポイントとなります。
(1)n桁の数字の末尾に1,2,4のどれかを追加することで、3で割った余りがどう変化するかを考察すればよいでしょう。1,4を追加すれば余りは1増え、2を追加すれば余りは2増えることになります。
(2) (1)で作った漸化式に加えてan+bn+cn=3^nになっていることに注意しながらbnを消去するとよいです。bnを消去しようとすると、自動的にanも消えてくれます。
(3) an,bn,cnが対称な関係にあるので、(2)と同じ方法でbn+2, cn+2の式も立てられます。これらを使っていけばよいでしょう。
(4)普通の２項間漸化式で、定数部分が等比数列になっているパターンですね。こんな場合は、全体を等比数列で割って定数部分をただの数字にしてしまえば解けるんでしたね。
＜筆者の解答＞
第3問
四面体から作られる八面体について考察する問題です。
本セットの中では一番難しい問題だと言えます。とはいっても本当に難しい部分は(3)だけだったりしますし、なんなら(3)以降は(2)までと独立して解答可能なので、本番では(2)までを確実に解いて(3)以降は後回し、というのが最適戦略だと思いました。
なお、(4)はおそらく出題ミスだと思います。
(1)まずは登場している点の位置ベクトルを、OA,OB,OCの式で全て表現しないことには始まらないでしょう。
その上で、PS上の点X, QT上の点Y, RU上の点Zの各点の位置ベクトルをパラメータ表示し、それらの点が一致する条件を考えればOKです。
今回調べた交点は、四面体OABCの重心になっていることがわかります。この点を(2)を見越しMと命名しておきます。
(2)「点たちが同一球面上にある」ときたら、基本的には「球の中心をうまく見つけられないかな？」と考えるとよいでしょう。今回の場合は、(1)の結果が「四面体OABCの重心」といういかにもそれっぽい点になっているので、この重心Mが級の中心なんじゃないかと決め打って考えれば良さそうです。
この予想を元に、MとP~Uがどれも等距離にあることを示せればOKです。
与えられた条件を変形すると、結局「OA,OB,OCのどの２つの内積も等しくなる」という条件に化けます。
(3)与えられた垂直条件を使うと、(2)で出てきた内積がaで表せる、OBとOCは同じ長さ、といった情報が得られます。
さて、この問題の難しさは、何といっても「立体図形の把握」にあります。四面体というただでさえ辺が多く立体的に交わってるところに新たに８面体を書き込むのですから、頭が混乱しそうになります。混乱を少しでも防ぐため、外側のOABCは破線にし、８面体を実線で描くことで８面体をくっきり浮かび上がらせるという工夫を答案では施しています。
そうするとどうでしょう。８面体は、四面体OABCから４隅の四面体を除去すればできそうじゃないですか？P~Uは全てOABCの各辺の中点だったのですから、取り除く4隅の四面体は全部OABCと相似になります。なおかつ相似比が1/2なのだから体積比ではその３乗の1/8になりますね。
これで、8面体の体積は元のOABCの半分だと分かったので、あとは実質OABCの体積を調べる問題になりました。
OABCの体積を調べるときに、PS⊥OA, PS⊥BCという情報が役に立ちます。
ここまでの知見を総合すると、「平面OASで四面体OABCをぶった切ると、２つの合同な四面体ができる」ことが分かり、その片割れは底面を先の断面だと思えば高さがきちんと定まります。底面積もaとkで表現でき、高さはkの半分そのものなので、これで体積が計算できますね。
(4)何度も言ってますが、この問題はおそらく出題ミスです。
(3)で得られたVの式は「aについての単調増加関数」となっています。ということはaの範囲が決まらない限り、最大値が求まらないことになります。
しかし、どれだけ考えてもaの範囲を絞ることができませんでした（三角形の成立条件を逐一チェックしましたが、どれも自明に成り立ってしまいます）。ということで、現時点の私の結論は「最大値は存在しない」です。
(3)の解答に不備・見落としがあるかもしれないと何度も答案とにらめっこしましたが、やっぱり瑕疵は見つからず。そしてtwitterで他の人の反応を見てても、最大値が求まらなさそうな雰囲気を醸し出していました。ということで、出題ミスなのだろうなぁと現時点では考えています。
今回の「出題ミス」は、幸いにしてそもそも後回しor捨てになったであろう(3)の後の部分だったので、多くの受験生は(4)に取り掛かる間もなく試験が終わったと推測できるため、以前のような出題ミス(2020年第５問2020年度 早稲田大理工学部 解いてみました。 - ちょぴん先生の数学部屋)と比較すれば影響・被害は少なく済むかなと。ただし、この問題を後回しにせずに解き、(4)が答えられなくて既に答えた(3)を直しに行ってしまい時間をロスした受験生にとっては地獄です。出題ミスしてる時点でダメなのは言うまでもありません。
いずれにせよ、本当に出題ミスであれば後日大学側から公式の声明があるはずなので、まずはそれを待ちましょう。
【2/17追記】大学から公式声明が出ました。
https://www.waseda.jp/fsci/assets/uploads/2024/02/20240217_ms1.pdf
一応「受験生の不利益が生じないよう、解答に至る過程などを十分に精査し採点する」とコメントがありますが、（4）に違和感を感じて（3）まで直しに行った受験生がいることを考えると、何の不利益も出さないのは難しいような気がします。
第3問の後半を端から捨ててた受験生と、（4）まで着手した受験生とで、明らかに明暗差がありますよね。感覚前者の方が多くいそうなのが不幸中の幸いではありますが。
＜筆者の解答＞
第4問
確率漸化式の問題です。
互角の実力を持つWとKが試合をするという設定ですが、どう考えてもW=早稲田、K=慶応で笑ってしまいました。しかもW(=早稲田)が連敗しない確率を求めさせてるので余計にツボりました笑。どんだけ慶応にライバル意識燃やしてるんだか笑
余談はさておき、「Wが連敗しない」というのは、すなわち「Kが連勝しない」となります。人間勝った方の方が印象に残るので、こう言いかえるとミスが少なくなると思います。
(1)高々3試合分なので、Kが連勝しない勝ちパターンを全部列挙してしまえばよいでしょう。
(2)Kが連勝しないn試合の結果パターンを、n試合目にWが勝つものと、Kが勝つものとに場合分けして考えることになります。それぞれの確率をan, bnとすればこれらの漸化式が作れるので、pn=an+bnに注意してpnの漸化式に書き換えていきます。意外とpnへの書き換えの部分で発想が要り躓く人がいたかもしれませんね。
(3)正直、早稲田を受ける受験生にこの設問は不要でしょう。3項間漸化式を解く過程でで必ず通る道なのですから。本来であればいきなり(4)が解けなければダメです。
言うまでもなく、α,βは特性方程式の２解になります。
(4) (3)の２つの式が等比数列の形になってるので解ける、と言う奴です。p1,p2の値を出すことを忘れなければ行けると思います。最終回答の表記は色々バリエーションが出そうではありますが。
＜筆者の解答＞
第5問
パラメータ表示された曲線の図示と、回転体の体積を計算させる問題です。
(1) (2)を見越せば、yをtで微分して増減を調べるのが良いと思います。一応、(1)だけなら、yをcostの2次関数と見なして平方完成するという解法も可能です。その場合はcostの値域に要注意です。
(2)同様にxの増減も調べてCの概形を描いていきます。xの方は微分するとcostの2次関数になります。
なお、概形を大雑把に描く分には不要ですが、t=πのところでdy/dtとdx/dtの両方が0となり、t=πでの接線の傾きがすぐには求まりません。2倍角の公式を使って分母分子が0になってしまう原因を約分で除去してあげれば極限を調べられ、結果発散することが分かります。
(3)お馴染み回転体の体積です。Cの概形からして、大きな回転体から小さな回転体をくり抜いた形になりそうなので、その方針で積分計算を行います。
積分方法はもちろんtでの積分への置換なのですが、置換すると(costの関数)×sintの形に変形できるので、さらにX=costと置換すれば多項式の積分に置き換わり見通しがよくなります（それでも5次式の積分なので、展開の手間がありまだまだ大変ですが）。
とはいえ、大きい回転体の部分と小さな回転体の部分を独立に計算しようとするとえらく計算が煩雑になってしまいます。両者の被積分関数は同じ形をしていて、しかも差を取るとうまく積分区間を連結できるようになるので、最初から差を取った形で計算していく方がいいです。
さらに、その方針で進めると積分区間の上端下端が符号違いになるので、偶関数・奇関数の性質を使うことでさらに計算量を節約できます。
＜筆者の解答＞
Cをexcelに描かせると下のようになります。
