このシリーズでは、東京慈恵会医科大学の数学の問題を解いていきます。
17回目の今回は2006年です。
（問題文を提供して下さったせがわさん、ありがとうございます。）
第1問
小問集合です。
(1)行列の計算問題です。
前半については、安易にA^2 - B^2 =(A+B)×(A-B)とやってはいけません。この和と差の積の因数分解ができるためにはAB=BAである必要があり、行列の積の場合、これが成り立つ保証がないのです（実際に、この場合は成り立ってないです）。
なので、A,Bを具体的に計算して、A^2, B^2を個別に計算する必要があります。
後半については、B/2がAの逆行列になるので、幸いにしてAB=BAが成り立ちます。項であれば、A^2 + B^2 =(A+B)^2 -2BAと計算することができます。
(2)3次方程式が重解を持つ条件を考える問題です。
左辺をf(x)としたときに、f(x)の極値が0であれば重解を持ちます。
(3)曲線に関する問題です。
l2がy=xtanθとかけることに注意してPの座標を求め、tを消去してあげればよいです(t=1のときだけ例外扱いです）。極方程式については、逆にθだけの式でx,yを書いてx=rcosθ, y=rsinθとなるようにrを決めてあげればOKです。
面積は、通常とは逆にyで積分する格好になります。置換積分することでシンプルな形に直ります。
(4)確率の問題です。
玉の個数の変化を全て調べることが結局近道になります。条件付確率については、A2かつA3が起こる確率をP(A3)で割ることで計算できます。
＜筆者の解答＞
第2問
2項係数に関する証明問題です。
(1)いわゆる「センター選抜の公式」ですね。左辺を計算して右辺を導けばOKです。
この式の解釈は、左辺の2項目を移項すると見やすくなり、
「n人のアイドルからr人のメンバーを選ぶ方法=センター以外のn-1人からr人を選ぶ方法+センターを選び残りn-1人からr-1人を選ぶ方法」ということになります。
(2) 問題文でご丁寧に「(1)とは独立である」と書いてくれているので、(1)の形に惑わされずに解くことができます。
n/rを2項係数にうまく吸収してあげれば2項定理に帰着できます。
(3) (1), (2)の結果を使ってan - an-1を計算してあげましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
積分で書かれた関数に関する問題です。
(1)このヒントがなかったら非常に難しい積分になります。積分の中に無理やり(t)'を発生させることで部分積分ができます。
(2) f'(x)は積分の中身にxを突っ込むだけで計算できるので、実質f''(x)を計算する問題ですね。
(3) x=sでのy=f(x)の接線が(k,0)を通る条件を整理すると、k=g(s)の形にできます。この条件を満たすsの個数がそのまま接線の個数に対応するので、g(s)のグラフの概形を調べて、それとy=kの交点の個数を調べてあげればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
