このシリーズでは、日本医科大学の数学の問題を解いていきます。
12回目の今回は2011年です。
（問題文を提供して下さったせがわさん、ありがとうございます。）
第1問
2等辺三角形を1回転させたときの通過領域に関する問題です。
ア～オ：余弦定理、正弦定理などをつかって次々に解いていきます。内接円半径は、面積と外周の長さの情報を使います。
カ～キ：S(A)はAB=ACを半径とする円となるので分かりやすいですが、問題はS2(A)。各辺が1周すると何処を通過するかを調べて、3回以上通過するところを除去してあげます。
ク～ケ：考え方は一緒で、S(O)の時点でドーナツ型になります。
コ：OX=xとして、Xから最も近い点と最も遠い点がどこになるかを場合分けして調べていきます。その際に外接円半径と内接円半径の情報が生きてきます。
＜筆者の解答＞
第2問
積分方程式の問題です。
まずはA=∫f(y)dyとB=∫yf(y)dyとおいて、f(x)をA,Bの混じった式で求めて、それを元の式に代入することでA,Bをaの式で表現できるように式変形をしていきます。bについては、x=aとすればaの式で表現できます。
(1)ここまで準備した方程式にa=1を代入して、計算するのみです。
(2)(3)まとめて考えます。
A,Bの満たすべき方程式2本を連立すると、行列の形で書けます。その係数行列が「逆行列を持てば」、A,Bが1通りに決まり、さらにbも1通りに決まります。
よって、係数行列の行列式≠0が、aの条件になります。
その下で連立方程式を解いてbをaの式で表現してb=0を解いていきますが、かなり計算は面倒です。
＜筆者の解答＞
第3問
双曲線の通過領域に関する問題です。
(1)OP-AP=1を只管変形していきます。そのためには√を外すために2回2乗する操作が必要になりますが、その際に2乗する前の式が「0以上になる」という条件を別途付けておかないと同値変形になりません。
長い式変形の末にy=の式に書け、微分することで概形を描けるのですが（双曲線なので2つの部分に分かれます）、この2つの部分のどっちを採用すべきかが、途中出てきた不等式によって決まっていきます。そのチェックが結構面倒です。
(2)あまり例のない変わった変数変換ですね。aを消去していくと、tの部分がt(2-t)と一まとめになってくれます。
(3) (1)(2)の結果からtの範囲を調べると0<t<2となります。なので、u=t(2-t)とするとuの範囲は0<u≦1となり、この範囲で通過領域がどうなるかを調べていきます。
y=の式をuの方程式と見なして、それが0<u≦1の解を持つx,yの条件が、Haの通過領域となります。
＜筆者の解答＞
