このシリーズでは、日本医科大学の数学の問題を解いていきます。
17回目の今回は2006年です。
（問題文を提供して下さったせがわさん、ありがとうございます。）
第1問
指数の入った方程式を解く問題で、はっきりいって教科書レベルの簡単さです。
t=2^x (t>0)と置換すれば3次方程式に帰着できます。
＜筆者の解答＞
第2問
数列に関する問題です。こちらも日医とは思えないレベルの簡単さです。
(1) am = m^3 - (m-1)^3でよいですね。
(2)一般項が(1)で求まっているので、単純なΣ計算です。
＜筆者の解答＞
第3問
線分の通過領域に関する問題で、第2問まで超絶簡単な問題が続いた中でようやく日医らしい骨のある問題が来ました。
問題文の条件を満たすA,BはA(cosθ, 0), B(0, sinθ)とパラメータ表示できる、というのが大きなポイントです。
(1)Pの座標をθの式で求めて、θを消去していきますが、t=0,1の場合だけ例外処理する必要があります。ここで求まったPの軌跡をCtとします。
(2) (1)では線分AB上の特定の1点のみに注目して軌跡を考えました。ということは、線分AB全体の通過領域を考えるには、(1)で調べたCtの、tを動かした時の通過領域を考えればよいと分かります。
Ctの式はtの4次方程式になっていて、「この4次方程式が0≦t≦1の範囲で解を持つx,yの条件を調べる」という逆像法での処理は難しそうです。ここは、yをtの関数（xは定数と見なす）と見なしてtを動かした時のyの値域をxの式で表現していく順像法を使いましょう。
(3)線分AQは線分ABの一部になっているので、AQの通過領域は(2)の結果に含まれているはずです。Aについては(2)と共通しているので、実質Qの軌跡だけ考えてあげればよいことになります。そしてQの軌跡はCsに他ならないので、(2)の領域をCsで切り取ってあげればよいわけです。
どの部分を残すかですが、Aが原点を通過しうるのでCsの内部は少なくとも確定で残ります。あとは、Aが(1,0), (-1,0)にある時を考慮すると、両脇の部分を追加すればよさそうです。（この辺の議論が厳密でなくて自信がありませんが、ご容赦ください）
＜筆者の解答＞
第4問
空間内の円柱側面の面積を考える問題です。これも日医らしい骨のある難問ですね。
(1)(2)に共通して、z軸に平行な面で切った時のKとTの接点の軌跡の長さをz方向に積分することで、面積を求めることができます。
(1)Kの中心を(a,b,c)としてa,b,cの満たすべき条件を考えていきます。(ア)については中心間距離と半径との大小関係を考え、(イ)については(a,b,c)とz軸との距離が1になっていればよいわけです。
結果、「Kが接することのできない部分」は、有限長さの円柱側面となります。
(2)
基本的には、(1)と考え方は一緒です。
(a)で求めた関係式から、平面z=sによる断面の長さ（ (b)で求めた点の軌跡の長さ）を調べてsで積分する形になります。
＜筆者の解答＞
