このシリーズでは、平成の一橋数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
一橋の後期は文系向けにも関わらず数Ⅲが出題範囲に含まれています。なので、どうしても数Ⅲの知識が不可避な問題については「※数Ⅲ必須」とコメントを付けておきます。数Ⅲやってないよ、という文系志望の方は、このコメントのない問題を中心に見ておけばよいと思います。
10回目の今回は2008年になります。
※2009年は、問題が入手できなかったため、入手できた段階で後日upします。
第1問
2次関数を使った数列の問題です。
(1)素直にa1=a3と解いてa1の候補を出し、その中からa1=a2も満たしてしまうものを除外する、という方針で良いでしょう。
(2)a3の範囲からa2の範囲を求め、そのa2の範囲からa1の範囲を求める、という流れです。
＜筆者の解答＞
第2問
ガウス記号の絡んだ領域図示の問題です。見慣れない問題で難しく感じるかもしれませんね。
(1)まずは、( [x]-[y] )/2 =mと、整数値を固定して考えるとよいでしょう。そうしてyについて解くと、[y] = [x]-2m となります。問題文にご丁寧にもガウス記号を言い換える不等式が書かれているので、それを利用すれば、[x]-2m≦y<[x]-2m+1と言い換えられます。この状態で[x]=1,2,3と代入していくと、領域の様子が見えてきます。
これで様子を掴めば、あとはmの固定を解いてあげれば、チェス盤のような領域になることが分かります。
(2) こちらも(1)と考え方は全く同じです。
＜筆者の解答＞
第3問
3次関数の極大値の軌跡と、3次曲線の通過領域を考える問題です。
(1) f(x)を微分すると、pの候補がaか2aだと分かります。aと2aの大小で場合分けして調べましょう。
(2) 問題文が少々分かりにくいですが、要するに「y=f(x)の極大値より右側の部分の通過領域を求めてくれ」ということです。
y=f(x)の通過領域を調べてから、左端の軌跡（ (1)で調べた曲線)で仕切る、という方針で進めます。(1)に引き続きaの値による場合分けが発生しますが、中々に面倒です。
＜筆者の解答＞
第4問
※筆者注：(2)の線分QRは、正しくは線分OR
放物線と直線の交点と、角を二等分する条件を求める問題です。tが「負の値」と定義されているので、ややこしさを感じる問題ですね。
(1)lの式を先に文字でおいて、まずはC1と接する条件を求めてしまいましょう。その後のRの計算は2次方程式を解くだけです。
(2) ORが∠POQを2等分するとき、角の二等分線の性質から、OP:OQ=PR:RQが成り立ちます。PR:RQについては、わざわざPR,RQ自身の長さを出す必要はなくて、それぞれPとRのy座標の差、RとQのy座標の差を考えればOKです（x座標の差を考えてもOK)。
＜筆者の解答＞
第5問
確率の問題です。
(1) 問題文の状況を考えると、X=0やY=0となる状況の方がレアで考えやすいです。「X>0かつY>0」の余事象は「X=0またはY=0」であり、X=0とY=0が両立することはありえないので、結局、求めたい確率は、1ー(X=0になる確率)ー(Y=0になる確率）で計算することができます。
(2) X>Yとなるのは(X,Y)=(1,0), (2,0), (2,1)の3パターンしかないので、この3パターンの確率をそれぞれ計算していきます。
n=1,2のときに例外処理が発生することに注意しましょう。
＜筆者の解答＞
