このシリーズでは、奈良県立医科大学の後期の数学の問題を解いていきます。
8回目の今回は2015年です。
第1問
積分を使った関数列の問題です。
(1)In(x)の式で部分積分を実行すると、In(x)の漸化式ができます。この漸化式を使って数学的帰納法で証明していきます。
(2) (1)で作っているanの漸化式を解けばOKです。
(3) 同じく(1)で作っているfn(x)の漸化式を利用して計算していきますが、適宜番号をずらすなど工夫が必要です。
最終結果はΣが解消できない形なので、そのまま答えとしました。
ちなみに、この最終結果はn→∞の極限を取るとe^xに収束します。
＜筆者の解答＞
第2問
円と直線に関する問題です。
(1)Cとlが交わらないとき、Oとlの距離が半径1よりも大きくなります。
(2)OとPの距離dを使ってSを計算できるので、dについて増減を考えていきます。結果としては、OPとlが直交するときSは最小となります。
＜筆者の解答＞
第3問
整数問題です。
右辺が素数の積になっているので、左辺を因数分解して（整数）×（整数）の形にできないかを考えるとよいでしょう。pは3以上の素数なのでp-1は必ず偶数です。これに気付けると和と差の積の因数分解が利用できます。
その後の工程でも因数分解を使ってa,p,kの候補を絞り込んでいきます。
＜筆者の解答＞
第4問(1)
複素関数の集合に関する問題です。
(1) z^n = 1から、与式が0だと分かります。
(2) 安直に考えると、(1)の結果からz^(n-1)を消去することで、vをz^(n-2)までの和のn乗の形にできて、wと非常に近いところまでは行けます。が、各係数が「0~n-1の整数値」とは限らない形になっていて、場合によればマイナスにすらなりえるものになってしまい、残念ながら証明にはなりません。
ただ、方向性としては悪くなく、「係数がマイナスにもなりえる」という欠点さえ解消できれば、vとwの表式が完全一致してS=Tだと言えることになります。
ここは、vの各項の係数の内、最小のものがakになると考え、このakをベースにして係数を並べ替え、最終的な係数が全て0以上になるようにしてあげるとよいです。
＜筆者の解答＞
第4問(2)
前問と本質的には同じ問題ですが、複素数ではなく行列の言葉で書き換えられています。
複素数の掛け算は「縮尺変更と回転を同時に行う」という類のものだったので、同じ性質を持つ行列と関連付けができるというわけです。
(1) 前問と同じように考えたいのですが、行列は割り算ができない演算です。なので、代わりに逆行列を考えることにします。
(2)単に複素数が行列に置き換わっただけで、やることは前問と全く同じです。
＜筆者の解答＞
