第6弾は、北の大地、北大です。
＜概略＞ （カッコ内は筆者が解くのにかかった時間）
1.三角形の外接円（25分)
2. 格子点の数え上げ (20分)
3. サイコロの目の最小公倍数・最大公約数 (23分)
4. 漸化式の極限 (24分)
5. 微分方程式 (14分)
合計106分 （参考：試験時間120分）
＜体感難易度＞
易レベル：なし 、標準レベル： 2,3,5 、やや難レベル：1,4 、難レベル：なし
去年と同じく、平易な難易度の出題となっています。やや発想の必要な4以外は十分高得点が狙いに行けるかと思います。
＜個別の感想＞
第1問
三角形とその外接円に絡むベクトルの問題です。
(1)は余弦定理を使えばいいでしょう。
(2)がある意味この問題の山場といえます。
注目すべきポイントは、「線分APが外接円の直径となっている」「Ｏは外接円の中心なのでOA=OB=OC=OP=外接円半径」の2点だと思います。
これだけ長さに関わる情報がそろっているので、長さに関するs,tの連立方程式を作って解く方針が得策でしょう。半径は、正弦定理で求まります。
このまま進めるとs,tの組が２つ出てきますが、「PはBCを挟んでAの反対側にある、つまりs+t>1」というベクトルの係数の性質を利用すれば一択に決まります。
(3)は、(2)でBD:DCの比が分かるので、2回余弦定理を使えば求まります。
＜筆者の答案＞
第2問
格子点の個数の数え上げ問題です。
(1)は、いわゆる2元1次不定方程式という、整数問題でよく出てくる方程式です。この解き方はほぼワンパターンなので覚えてしまって損はないです。
(2)は、(1)でL上の格子点の一般解が求まったので、具体的にAとBを調べておげましょう。距離を計算するときに、平方完成をしてしまうとえらく汚くなってしまうので、単調性をうまく使えると労力を節約しつつ最小値を出せます。
最終的には2辺が軸平行な直角三角形に含まれる格子点の数を数えますが、この時は、一旦長方形を考えてあげると数えやすいです。
＜筆者の答案＞
第3問
サイコロの目の最小公倍数、最大公約数に着目した確率の問題です。
今回は、漸化式を使わず直接確率を計算するのがよいです。
（漸化式だと、直前の最大公約数が・・と場合分けが煩雑になってしまいます）
(1)は、「３か６ばかりが出て、かつ少なくとも1回は3が出る」確率を出せばよいです。
(2)は、直接「最大公約数=1」を出すのは難しいです。なぜなら、n回のうち1回でも互いに素な数字が出たらその瞬間「最大公約数=1」になってしまい、場合の数が膨大になってしまうからです。それより、(1)のヒントもあるので、「最大公約数が2以上」の確率を出して、1から引く、のほうが遥かに考えやすいです。
(3)は、1~6のうちどの数字が最低限出れば最小公倍数=20になるかを考えましょう。
要するに「4と5は最低1回ずつは出る かつ 3と６は登場しない」であればよいわけです。
＜筆者の答案＞
第4問
直接一般項を出せない数列の極限を考える問題です。この問題は全体を通して発想力が問われる問題です。
(1)の前半は、ただの帰納法です。後半はy=f(x)とy=xの上下関係をグラフから判断するのが一番いいと思います。
(2)は少し難しめです。bn+1-bnで正負を判別できないので、これまた図形的な解釈で証明を行いました。（答案では、y=f(x)の2点間の傾きと解釈しています）
(3)は、これまでの考察からanは1に収束しそうだと予測できるので、その体ではさみうちに持ち込みます。このときに(2)が有効利用できます。この不等式評価は、大学数学のεδ論法でよく使うテクニックですが、慣れが要ると思います。
bnは「微分係数の定義」で計算できます。
＜筆者の答案＞
第5問
微分方程式の問題です。
ゴツい積分の式を両辺xで微分して解き進めます。答案では、大学教養数学チックな「対数微分法」という解法で解いています。
(2)も単純な面積計算（積分計算）ですので、平易です。最後の極限は、またしても「微分係数の定義」です。
[3/19追記]
(1)は、実は直接積分を計算できるということに、気が付きました。。。
＜筆者の答案＞
