第8弾は、阪大です。
＜概略＞ （カッコ内は筆者が解くのにかかった時間）
1.底と指数の両方にxが入っている関数の概形（7分)
2. 複素数平面の絡んだ確率 (28分)
3. 三角形の辺の長さの満たす条件式 (15分)
4. 双曲線と直線絡みの面積・極限 (17分)
5. 三角形からできる回転体の体積の最大値 (24分)
合計91分 （参考：試験時間150分）
＜体感難易度＞
易レベル：1 、標準レベル： 2,4,5 、やや難レベル：3 、難レベル：なし
難易度は、難しすぎた去年の反動からか大幅に易化したといえます。
第1問
底にも指数にも両方xが入っている関数のグラフを描かせる問題です。
「両辺で対数をとってから微分する」という手法さえ知っていれば、取るに足らない問題です。本当にそれだけの問題でした。
阪大でなくとも、旧帝大以上を受けるレベルの受験生は瞬殺で解けないとダメです。
＜筆者の答案＞
第2問
複素数平面の絡んだ確率の問題です。
一見、複素数が絡んでいてわかりにくいですが、落ち着いて考えればタダの見掛け倒しです。
なぜなら、「複素数の掛け算」というのは、元の数を「回転」させるという操作だからです。よって、この問題の設定をかみ砕けば、
・サイコロの目が1⇒60°反時計回りに回転
・サイコロの目が2⇒60°時計回りに回転
・サイコロの目がそれ以外⇒その場に留まる
という、よくある確率の問題に翻訳できてしまうわけです。
こうなってしまえば、実数と虚数の行き来を考える以上、確率漸化式で解くのが効果的な解法となります。
＜筆者の答案＞
第3問
辺の長さの満たす条件式の証明問題です。
一見何をすればよいか分からない、発想寄りの問題です。強いて言えば、この問題が本セットの最難問です（難問というほどでもないですが）。
とりあえず角度と長さの情報があるので、角度Bをθとおいて以下を考えてみましょう。
①ABCが三角形として成立するには、θはどんな条件を満たすべきか？ →角度Aが存在できる条件は？
②bとcが満たす方程式は何だろう？ →対辺と角度が既知だから、正弦定理を使えばよさそう。
上のような発想で進めていくと、c=f(θ)bと条件式が求まります。
これで、ようやく問題文の証明したい不等式とつながり、結局「f(θ)<n」が言えればいいという発想に至ります。
「f(θ)<n」の証明の仕方は色々考えられますが、答案では和と積の変換公式を利用して証明しています。
余談ですが、ここで出てくるf(θ)=sinnθ/sinθは、実はcosθのn-1次式で書けることが知られており、「第2種チェビシェフ多項式」と呼ばれています。第1種チェビシェフ多項式は、cosのn倍角の公式を指します（cosnθは、cosθのn次式でかける）。
＜筆者の答案＞
第4問
曲線で囲まれた領域の面積と、その極限を考える問題です。
考える領域の形は、tが十分小さい時（直線と双曲線がクロスしない場合）と、tが十分大きい時（直線と双曲線がクロスする場合）で様相が異なります。
今回の問題では最終的にtを無限大に飛ばしてしまうので、後者の場合だけ考えればよいです。
あとは、S(t)の式を順当に求めて、順当に極限を出すだけです。極限を出すときに使うテクニックとしては「分子の有理化」くらいだと思います。
この問題も1ほどではないにせよ、押さえておきたい問題です。
＜筆者の答案＞
第5問
三角形による回転体の体積の最大値を考える問題です。
全体の流れは、(1)1文字固定して最大条件を考える⇒(2)固定を外して最大条件を出す という、いわゆる「予選決勝法」という流れになっています。
この問題の肝は、予選決勝法に入る前段階の、Vをa,bの式で表現する過程だと思います。
初手では、まず3辺a,b,2-a-bが「三角形になる条件」を絶対に考えてください。
次に必要になるのが、点Aと辺BCとの距離なので、これを最優先で出しましょう。
こうなれば、Vは底面が共通の２つの円錐になるので、体積が簡単に計算できます。
以降は誘導通り、予選決勝法で解くだけです。
※予選決勝法は、大学数学で習う「偏微分」と本質的に同じ概念です。
＜筆者の答案＞
