このシリーズでは、平成の東大理系数学の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
東大の数学の問題は、難易度は高いですが良問の宝庫であり、演習価値が非常に高いです。
（時々、どうしようもなく難易度が高く、筆者の力量でも解けない問題が出てくることがありますが、どうかご容赦くださいm(_ _)m )
18回目の今回は、2002年の問題です。
第1問
2つの放物線が2点で交わる条件を求める問題です。
２つの式を連立してできるxの2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件を求めるだけです。一般角とあるので、最後に2nπを足すのを忘れずに。
さすがに簡単すぎやしませんか？東大さん。。。
＜筆者の解答＞
第2問
多項式の割り算の余りに関する問題です。
(1)は帰納法で十分でしょう。
(2)はユークリッドの互除法から、anとbnの最大公約数が、a1とb1の最大公約数と一致することが分かります。
これまた簡単すぎるでしょ。。。
＜筆者の解答＞
第3問
2つの球の交わりに関連した、点の存在条件を考える問題です。ここにきてようやく手ごたえのある問題が来た、という感じです。
この問題設定はz軸について回転対称なので、まずPを座標平面に固定して考えて、最後にz軸回転させる、という方針で行きます。
Pを座標平面に固定したら、2つの球の断面の情報から、Q,Rの座標が次々に分かり、Pの座標を用いて、PQ<ARを言い換えることができます。それを図示します。
図示した領域をz軸回転させれば、半径3/2の球から半径1の球をくりぬいた立体になるので、体積は容易に計算できます。
あとは、π=3.14159・・・となるので、π<3.1416とできます。打ち止めにする桁数は、６で割り切れるように調整しました。結果論、それでうまくいきます。
（※後で検証した結果、π<3.15で十分でした。しかも3の倍数という、、てへぺろ）
＜筆者の解答＞
第4問
曲線の法線のy切片が取りうる値の範囲を求める問題です。
Qのx座標をt(≠0)として、PQの傾きと、接線の傾きをtで表して、両者をかければ-1になるという条件を処理すればよいです。
最終的には、よくある曲線と横棒の交わりを考える問題に帰着します。
＜筆者の解答＞
第5問
三角錐の体積の総和を求める問題です。
問題文にk/nが登場していて、かつ最終的にΣの入った極限を考えるので、区分求積法が出てきそうですね。
条件に従ってVkを計算し、区分求積法を適用すると、最終的に√(x-x^2)の積分を計算する問題に帰着します。
この場合はルートの中身を平方完成してsinで置換するとうまくいきます。
＜筆者の解答＞
第6問
シャッフルなる概念を題材にした、創作問題です。
(1)は実験して、シャッフルに慣れさせる問題でしょう。
(2)は、実際に{1,2,3,・・・,2N}を1回シャッフルしてみると、f(k)の式が分かります。kがN以下かN+1以上かで場合分けが必要ですが。
(3)がこの問題の本題と言えましょう。
「2n回シャッフルすると元に戻る」というのを、数式で処理しやすい表現で言い換えてあげましょう。これは、「各kについて、2n回シャッフルするとkという数字がk番目にくる。」と言い換えられます。
今m回シャッフルしたときのkの位置をf^m(k)と表現すれば、これは「f^2m(k) = k」と表現できます。これを証明することになります。
(2)を使うと、mod 2N+1で考えればf(k)≡2kなので、
f^2m(k)≡2×f^2m-1(k)≡・・・・2^n×kとなり、2N=2^nのときは2^n≡1なので、
f^2m(k)を2N+1で割った余りがkになることが分かります。
ここで、kもf^2m(k)も2N+1より小さい数なので、こうなるためにはf^2m(k) = kになるしかないです。これで証明完了です。
＜筆者の解答＞
