このシリーズでは、平成の東大理系数学の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
東大の数学の問題は、難易度は高いですが良問の宝庫であり、演習価値が非常に高いです。
（時々、どうしようもなく難易度が高く、筆者の力量でも解けない問題が出てくることがありますが、どうかご容赦くださいm(_ _)m )
20回目の今回は、2000年の問題です。
第1問
直角二等辺三角形に内接する楕円の面積の最大値を求める問題です。この年のセットでは一番易しい問題でしょう。
BCがx軸になりy軸対称になるように座標軸をとった上で、z軸に接する楕円の式を作り、この楕円がAB,ACにも接する条件を出して考えればよいです。
楕円の面積の公式は、長半径と短半径がそれぞれa,bのときπabです。
＜筆者の解答＞
第2問
複素数の条件を証明する問題です。これは方針を間違えると手に負えない難問と化します。
最初の関門は、RがOから直線PQへ下した垂線の足であることをどう表現するかです。
まず、ベクトル的に処理することで「w=α、βの式」と直接書く方法が思いつきますが、実際やってみると分かりますが、wの式がとんでもなく複雑な形となり、手に負えなくなります。
よって、w=で直接書き下す方法はあきらめて、別の関係式で表現することを考えると、△OPRが直角三角形になるので、三平方の定理が使えることが分かります。
3辺はw,αの絶対値の式で簡潔に書けるので、シンプルな関係式が求まります。
これを思いつくのが大変でしょう。。
「⇒」の証明は、上の関係式にw=αβを代入するだけなので、さほど難しくありません。
「⇐」の証明は、wとwの複素共役が混じった式を処理することになるので、できる限りwの複素共役を消去する、というモチベーションで式変形を進めるとよいと思います。
＜筆者の解答＞
第3問
関数列の漸化式を考えて、その極限となる関数を考える問題です。誘導に従って計算するだけの易しい問題です。
(1)は、漸化式にpkの式を代入して、一般項を求めるだけです。
(2)は(1-a/n)^nの極限が登場しますので、ネイピア数eの登場が予想できます。
ここで(1+1/x)^x → e (x→∞) なので、この形になるように指数をいじくりましょう。
(3)は、cの値によってg(a)の挙動が変わるので、それぞれ個別に検討すればよいです。
＜筆者の解答＞
第4問
円周上を動く点と、横に一定速で動く線分とがぶつかる条件を考える問題です。
これは難問です。
まず、PとQRが時刻tでぶつかる、という条件を数式で言い換えると、
cost = 1 - vt かつ√3/2<sint<1となるtが存在する となります。
これをvの式で置き換えると、
v=(1- cost)/tが、√3/2<sint<1をみたす解をもつ。
となるので、f(t)=(1- cost)/tのグラフを考えればいいという方針自体は立つと思います。
ここで第1の難関が、このf(x)のグラフを描くことです。f(t)のグラフは、大雑把には反比例の線y=1/tの下側に波線を描いたものというイメージですが、正確に増減を把握することが難しいです。
f'(t)を計算したときに、これの正負がどうなるかを注意深く追う必要があります。
結果、増減は2πの周期性を持つことが分かります。
そして、√3/2<sint<1すなわちπ/3+2nπ<t<2π/3+2nπが、極値を挟むか否かの検討も必要です。
無事にグラフが描けたら、横棒との交点を考えるのですが、ここで第2の難関、1点でしか交わらないのはどの部分なのかを調べる必要があることです。
これはグラフを少し書いた程度では把握できないので、2nπ<t<2(n+1)πの各部分で条件を満たす曲線の範囲an <f(t)<bn の重なりがどうなっているのかを調べる必要があります。
注目すべきは、anとbn+1の大小関係、anとbn+2の大小関係あたりでしょうか。
慎重に調べると、1点でしか交わらない範囲は、ごく一部しかないことが分かります。
この2段階の検討それぞれが非常に面倒な難問でした。
＜筆者の解答＞
第5問
条件を満たす整数の個数を数える問題です。
Sを満たす整数を作るには、(0,9), (1,8), (2,7), (3,6), (4,5)のペアになっている数字を同時に使ってはいけないことがわかるので、各ペアから1個ずつ数字を選んで並べればよいです。
(1)千の位が何でもよい場合から、千の位が0の場合を引き算する形で計算できます。それぞれを上のルールに従って数え上げていきます。
(2)は、(1)と同じように、1桁、2桁、3桁のものの個数を調べて合計すると2000個をオーバーするので、2000番目の数は4桁になることがまず分かります。
その後は、千の位がいくつであるべきかを調べ、百の位がいくつであるべきかを調べ、・・という具合に愚直に絞り込みをするしかないです。
＜筆者の解答＞
第6問
おなじみ体積の問題ですが、(2)が難しいです。
(1)は、素直に行列の掛け算を計算してください。
(2)は、(1)の答えを使っていきなり 2<t<4, 1/t <z< 4/t, 1<x+z<2 とするのは間違いです。（筆者も最初うっかりやってしまいましたが。。）
なぜかというと、yをtで固定すると、t=c+aなので、aとｃが独立に動けないからです。
（言い換えれば、aとcが同時に2になれないし、同時に1にもなれない ということです）。よって、aは、1<a<2と1<t-a<2という2つの条件に縛られることになります。tの値によって2つの条件の共通部分が変わるので、場合分けが発生します。
一方で、bは、a,cとは独立に、自由に動くことができます。
このことに注意して、条件を図示して面積を計算しましょう。
(3)は、(2)の答えを積分するだけです。
＜筆者の解答＞
