このシリーズでは、東大に引き続き、平成の京大理系数学の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
京大の数学の問題も、難易度は高いですが良問の宝庫であり、演習価値が非常に高いです。
（時々、どうしようもなく難易度が高く、筆者の力量でも解けない問題が出てくることがありますが、どうかご容赦くださいm(_ _)m )
初回は、2019年の問題です。
第1問
小問集合です。
問1：cosθが無理数で、cos2θ、cos3θが有理数のものは何かという問題です。
cos2θもcos3θもcosθの多項式で書け、かつcos3θはcosθで割り切れるので、cos3θ をcosθの式（無理数)×cos2θの式（有理数）で書くことができます。
無理数×有理数 = 有理数 が成立するような有理数は、0しかありません。これによりθが求まります。
(1) 1/cos^2(x) がtanxの微分であることに着目して部分積分です。
(2) 1/cosxの積分は、分母分子にcosxを掛け算しt=sinxと変換する置換積分で解くのがテンプレです。
＜筆者の解答＞
第2問
まずf(x)の形から、nが偶数であればf(n)も必ず偶数になります。このことから、nが奇数の時はf(n+1)が必ず偶数になります。
偶数になる素数は2だけなので、|f(n)|と|f(n+1)|の両方が素数になる時、片方は２にならないといけません。この時点で、nの候補を大分絞ることができます。
あとは、これら候補について、もう片方が素数になるか否かをチェックしましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
鋭角三角形の中の点Pの軌跡と、線分BCとが囲む面積を求める問題です。
曲線の面積を求めるので、いずれ積分を使うことになります。積分を使うためには座標軸が必要なので、うまく設定しないといけないです。
ここでは、線分BCによって囲まれる面積を考えるので、BCをx軸にとり、Bを原点にとるのが自然でしょう。a,b,cを正の数だとしてA(a,b), B(0,0), C(c,0)とおいたとき、△ABCが鋭角三角形なので、a<cが必要になります。（本当はbにも条件が必要なのですが、この問題を解く分には影響しないので、考えていません。）この時点で、Sは簡単に求まります。
次に、Pの座標を調べるのですが、これは、与えられた条件からベクトルで処理するのが良いと思います。
ここで求まった、Pの座標に注目すると、x座標の方はtについて単調増加し、y座標の方はt=0,1のときに0になり、t=1/2で最大となる上凸の放物線となるので、Pの軌跡もx=0, cで0になり、途中で最大値をとる上凸の曲線になります。積分を計算する分には、これくらいの大まかな情報があれば十分で、極大値などは不要です。
（※この場面で、xが単調増加だとしたいがために、鋭角三角形だという設定になっているのだと思います。もし鈍角三角形も可としてしまうと、xが途中で小さくなったりして、積分がややこしくなってしまいます）
あとは、tへの変数変換なども使いながら、面積を積分で求めましょう。計算ミスがなければ、先のSの(a,b,cによらない）定数倍になります。
＜筆者の解答＞
第4問
サイコロの出た目の値の推移を考察する、確率の問題です。
条件の表現が少々分かりにくいので、噛み砕いてあげると、
Xは途中まで全部4以下、L回目で5以上にあがり、
(ⅰ)そのまま5以上を維持する あるいは、
(ⅱ) しばらく5以上を維持した後、m回目で4以下にもどり、そのまま4以下を維持する
という状況になります。
l,mを固定ししたときにこれらの確率を計算して、最後にlとmについてΣを計算すればいいことになります。
ここで、X0=0となっているので、X1が4以下になるか5以上になるかで場合分けが発生することに注意です。
＜筆者の解答＞
第5問
球に内接する正四角錐の体積の最大値を考える問題です。
これもうまく座標軸を設定しましょう。
まず、底面が平面z=-t (0<t<1)上にあると仮定します。このとき、正四角錐の頂点が最も高い位置に来る（＝正四角錐の体積を最大にする）には、A(0,0,1)にあればよいことが図形的にすぐに分かります。
（ (0,0, -1)にしてしまうと、底面からの距離が目減りしてしまいます）
あとは、底面積と高さをtの式で表現すれば、正四角錐の体積Vは、tの三次関数になり、その最大値を考える問題に帰着します。
＜筆者の解答＞
第6問
複素数の絡んだ不等式の問題、、なのですが、複素数の知識を使うのは最初だけです。
左辺は複素数の和になっていますが、よく見ると複素共役の和なので、実数になります。
1±i = √2 (cosπ/4 ±isinπ/4) となるので、(1±i)^n =2^(n/2)*(cosnπ/4±isinnπ/4)と簡単に計算できます。
よって、与えられた不等式は、2^(1+n/2)*cos(nπ/4) > 10^10となります。
ここで、cos(nπ/4)はnによってプラスにもマイナスにも０にもなりえます。
よって、不等式を満たすためには、最低限cos(nπ/4)がプラスでないとまずいので、これによりnの条件が決まります。nを8で割った余りが0か1か-1ですね。
あとは、これら3通りについて個別に調べていけばよいです。
その際に常用対数log2の情報が必要で、そのために実は試験本番では対数表が記載されていました。ここでは、0.3010<log2<0.3011を既知のものとして使いました。
＜筆者の解答＞
