このシリーズでは、東大に引き続き、平成の京大理系数学の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
京大の数学の問題も、難易度は高いですが良問の宝庫であり、演習価値が非常に高いです。
（時々、どうしようもなく難易度が高く、筆者の力量でも解けない問題が出てくることがありますが、どうかご容赦くださいm(_ _)m )
14回目の今回は、2006年の問題です。
第1問
多項式の割り算の余りに関する問題です。
P(x)をQ(x)で割った余りをr(x)とすると、[r(x) ]^2がQ(x)で割り切れます。
r(x)は一次以下ですが、もし定数だとするとQ(x)で割り切れないのでダメです。よってr(x)は1次式確定です。
そうするとQ(x)は2次式なので、Q(x)は、[r(x) ]^2の定数倍でないといけないです。
＜筆者の解答＞
第2問
空間内にある2線分が交わる条件を求める問題です。
ある点が、線分OP上にあり、かつ線分AB上にある条件をベクトルで処理すればOKです。
＜筆者の解答＞
第3問
点対称なグラフと直線とで囲まれた面積を計算する問題です。
問題文の条件からf(x)の式を求めて、接線の式を求めましょう。あとは、テンプレの面積の積分計算です。
＜筆者の解答＞
第4問
京大の好きな、素数になる条件を求める問題です。
（正直「n=3を証明せよ」は、易しすぎます。「nを全て求めよ」でも程よい難易度です）
この手の問題は、まずnに具体的に値を代入して実験してみましょう。
すると、nとn^2+2のどちらかは必ず３の倍数になることが予想できるので、これを証明することになります。
＜筆者の解答＞
第5問
△ABCの辺上の3点の作る△PQRの重心の存在範囲を求める問題です。
APベクトル = p × ABベクトル
AQベクトル = (1-q) × ABベクトル + q × ACベクトル
ARベクトル = r × ARベクトル
(p,q,rは、全て0より大きく1より小さい）
とおいて、重心の式を求めると、
AGベクトル = (1+p-q)/3 ABベクトル + (q+r)/3 ACベクトル
となるから、
X=(1+p-q)/3, Y=(q+r)/3の満たす条件に付いて考えればよいでしょう。
最終的な答えが、対称な形になっているかを確認するべきです。
＜筆者の解答＞
第6問
積分で書かれた関数の最大値を求める問題です。
素直にF(θ)をθで微分して増減を調べればよいです。
＜筆者の解答＞
