このシリーズでは、東大に引き続き、平成の京大理系数学の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
京大の数学の問題も、難易度は高いですが良問の宝庫であり、演習価値が非常に高いです。
（時々、どうしようもなく難易度が高く、筆者の力量でも解けない問題が出てくることがありますが、どうかご容赦くださいm(_ _)m )
28回目の今回は、1992年の問題です。
第1問
正八面体と、平面との断面を考える問題です。
正八面体の12個の辺を式で表現して、辺と平面との交点を12個総当たりで調べるだけです。いくつかの辺の交点は、辺の外に出てしまう不適なものとなります。
やることが単調な割に12通りも計算しないといけない、正直つまらない問題ですね。
＜筆者の解答＞
第2問
sin関数の方程式に関する問題です。
(1)は、cosθの2次方程式として解いてしまうとあまり旨味がありません。cosθの値が分かったところで、それを満たす肝心のθその物の値が分からないからです。
よって、和積を公式を使ってあげてcos(5θ/2) = 0を導き、5θ/2 = π/2 とやったほうがθその物がダイレクトで分かり、適切な解法となります。
(2) こちらは、cosθの2次方程式に帰着させて、この方程式が0より大きく1より小さい解を持つようなm,nの条件を考えましょう。最後の場面で(1)が役立ちます。
＜筆者の解答＞
第3問
三角形の外心にまつわる図形問題です。外心の性質をフル活用することが要求されます。
(1)そもそも外心の定義は、「三角形の各辺の垂直2等分線の交点」でした。この定義から、P, Q, Rは、辺BC. CA, ABの中点になっていることが分かります。これでOP, OQ, ORベクトルが、OA, OB, OCベクトルで表現できます。
(2)さらに、外心は「三角形の外接円の中心」だったのでした。よって、OA=OB=OCが成り立ちます。この問題では、簡単のために長さを1として何ら問題はありません。
ここで、△ABCの外接円を考えてあげると、円周角の定理から、∠BOC = 2∠Aとなりますので、OBベクトルとOCベクトルの内積はcos2∠A となります。
これらと(1)で作った関係式を用いてあげると、∠Aが求まります。
＜筆者の解答＞
第4問
サイコロの出た目の積を考える確率問題で、ごくごく典型的な標準問題です。
(1)は、「3で割り切れない」という余事象を考えます。
(2)も同様に、「2で割り切れない」「3で割り切れない」「2でも3でも割り切れない」確率の方が容易に求まるので、ベン図を描いてこれらの値を使って、「6で割り切れる」確率を表現しましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
パラボラ曲面の４つの接平面とxy平面に囲まれた立体の体積を考える問題です。
(1)接平面というとビビりますが、今回の問題では、xz平面ないしyz平面上の点での接平面しか考えていないので、実質放物線の接線を考えているのと変わりません。
そうでない一般的な接平面を求めようとすると、大学で勉強する「偏微分」の知識が必要になります。
ともかく、こうして求めた4つの平面を, 平面z=sで切った断面の面積を考えてsで積分すれば、体積V(t)が求まります。この立体は、正四角錐になります。
(2)は、(1)で求めたV(t)を微分して増減を調べるだけです。
＜筆者の解答＞
第6問
ピタゴラス数を題材にした整数問題です。
(1)は、特に断りがなくとも数学的帰納法でしょう。素直にn=k+1のケースを頑張って計算しましょう。
(2)cn>0は帰納法で証明します。
(1)の情報を使うと、ak = ck cosθk, bk = cksinθk (θkは0以上π/2以下）と置くことができるので、ck+1 = 3cn - 2√2cn sin (θk + π/4)と表せます。これはsinが1以下なので、必ず正になります。
次にcn+1 < cn は、cn+1 - cn = 2cn - 2√2sin (θn + π/4) となり、θnが0以上π/2以下のときは必ず0以下になります。
(3)は、cm+1 = cm+2 となるとき、(2)での考察からθm+1 = 0またはπ/2 となるので、それぞれで場合分けして、am, bm, cmを求めましょう。cm ≠cm+1にも注意です。
＜筆者の解答＞
