東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の2019年の問題を取り上げます。
第1問
平面に下した垂線の足についての問題です。至って標準的な典型問題です。
(1)PQベクトルとαが垂直になるので、PQベクトルとOAベクトル、PQベクトルとOBベクトルがそれぞれ内積0になります。
(2)OQ = sOA +tOBと書けたときに、0≦s+t≦1となることが、Ｑが△OABの内部にある条件です。
＜筆者の解答＞
第2問
2連続の自然数の積の最大公約数に関する問題です。誘導が丁寧なので、これに従って解いていきます。
(1)は、nとn+1のどっちかは偶数なので明らかですね。
(2)nとn+1は互いに素なので、n(n+1)が８で割り切れるとき、nとn+1のどっちかが8の倍数でないといけません。しかし、このとき(n+3)(n+4)は8で割り切れません。
(3)は(2)と同様に、n(n+1)がpの倍数のとき、nかn+1のどっちかがpの倍数になりますが、このとき(n+3)(n+4)はpの倍数になりません。
(4)は、(1)から(3)を使うと、dnを素因数分解した結果は2と3の積になり、かつ2は2個以下になることが分かります。(2)と同じように考えれば、dnは9で割り切れないことが分かるので、3の個数は1以下です。
dn=12となる例は、具体的に調べればOKです。
＜筆者の解答＞
第3問
分数関数に関する問題です。やることは単純ですが、計算量がやや多めの問題です。
(1)は、f(x)を微分して増減表を描けばOKです。
(2)はMの座標を頑張って計算しましょう。解と係数の関係を使ってα+β、αβを計算しておくと計算が楽になります。
＜筆者の解答＞
第4問
カードの番号の大小を競う、確率の問題です。Bが少し欲張りで引き直しをする設定のようです。
(1)mが2以下のときと、3以上のときで場合分けが生じます。
(2)Aが得点lになる確率を計算して、Σ計算を行いましょう。(1)と同様にm=1,2のときだけ例外扱いになることに注意です。
＜筆者の解答＞
第5問
積分で書かれた漸化式の問題です。関数の形と係数の値から、フーリエ変換を背景にした問題だと思われます。
(1)まずは、fn+1(x)をan, bnで表現しましょう。そしてan, bnの式にfn(x)を代入して漸化式を求めていくお馴染みの流れです。
(2)与えられたcnの漸化式が一個飛びなので、偶奇による場合分けが発生します。
(3)an, bnが定数になる時、cnも定数となるため、(2)の結果からa1=b1=1が言えます。
＜筆者の解答＞
