東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、東北大学の2018年の問題を取り上げます。
第1問
2つの放物線の交点に関する問題です。
(1)は、解と係数の関係を用いてa,bの関係式を求めます。
(2)は、直線の式をaの方程式と見なして実数解を持つ条件を求める流れです。
＜筆者の解答＞
第2問
カードの和を考える確率の問題です。
いずれの小問でも、１回目から3回目で引くカードの番号を固定して、最後に足し上げる形です。
＜筆者の解答＞
第3問
整数問題です。
(1)は、意外と戸惑うかもしれません。とりあえず、確実にプラスになる数でまとめてみましょう。
(2)は、4で割った余りを考えましょう。
(3)は、(2)の事実を使うと左辺が因数分解出来ることを利用します。(2)で除外していたb=1の場合の検討するのを忘れずに！
＜筆者の解答＞
第4問
三角形の内接円と外接円の半径の比を考える問題です。
(1)は、意外と難しいです。
まずは、正弦定理を使ってRを、面積を利用することでrがそれぞれ求まるので、h自体は求まるのですが、そのままでは問題文の式まで持っていけません。
ここで、必要になるのは、内角の和が180°になること、つまり2α+2β+2γ=πになることです。これを使ってγを消去して計算を進めてみましょう。
(2)は、(1)の式でγ=π/4とした時のhの増減を考えるので、α+β=π/4が成立します。よってhがαだけの式になるので増減を調べられます。
(3)は、γを消去したうえで予選決勝法ですね。βを一旦固定してαを動かし、そのあとにβを動かして考えます。
(2)(3)の等号成立条件は、勘のいいひとはすぐに分かるのではないかと思います。
＜筆者の解答＞
第5問
(1)は実数tが解だった時に、αがどんな式になるか？という観点で攻めるとよいでしょう。
(2)も同様に、cosθ+isinθが解だった時にαがどんな式で書けるかを考えます。βに変換するときのπ/4回転は、cosπ/4 + isinπ/4 をかけることで解決できます。
＜筆者の解答＞
第6問
座標軸に対して、斜めになっている回転軸による回転体の体積を求める計算です。(2)が難問です。
(1)これは、与えられた式を丁寧に図にするだけです。
(2)が難問で、「何で積分」するのかを正しく把握しないといけません。体積計算は、「回転軸に沿って積分する」ので、回転軸x+y = 0に沿った新しい座標軸を作って考える必要があります。
この座標軸と放物線までの距離を表して、積分計算です。
＜筆者の解答＞
