東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の2018年の問題を取り上げます。
第1問
関数の取りうる値を求める問題です。(1)をヒントに(2)を解く構成です。
(1)は、各辺で差を取って微分、増減を調べるというお馴染みの流れです。
(2)まずは、yをxで微分してみると、log(1+x)が相変わらず分母に残ってイヤらしいです。しかし、log(1+x)は、(1)の不等式で挟めていたのですから、これを使うと、yの微分が常に負、つまりyが単調減少であることが言えます。
こうなると次は下限と上限が気になってきます。
下限の方は、xを無限大に飛ばすことにより0だと分かります。
上限の方は、(1)の式を使ってはさみうちの定理を適用することで、x→+0の極限を調べます。
yは、この上限と下限の値そのものにはならないので、不等号はイコールなしのものになります。
＜筆者の解答＞
第2問
4次式の因数分解を考える問題です。
(1)f(x)がx-cで割り切れるとき、f(c)=0となりますので、f(1/c)=0を証明しましょう。
cが1かそうでないかで場合分けが生じます。
c>0については、c≦0のとき不成立になるので背理法で正しいことになります。
(2) (1)の結果を使うと、s,t,u,vのうち二組は互いに逆数の関係になります。これを使うと2文字に絞り込めるので、展開して係数比較に持ち込みましょう。a≧4は、相加相乗平均の関係で証明できます。
(3)は、(2)で考えたs,t,u,vが全て正の実数になるという条件からbの候補を絞っていきましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
パラメータ表示された曲線にまつわる面積の問題です。
(1)は、f(t), g(t)をそれぞれtで微分して増減を調べればよいです。
(2)も、与式を愚直に計算しましょう。
(3)まずは(1)の結果を使ってCの概形を描いてみましょう。(2)の事実からCは途中で自己交差することはありません。（もし自己交差なんかしていたら面積計算がえらいことになっていたので、よかったです。。。）
＜筆者の解答＞
第4問
正八面体の問題です。(3)がなかなか難しいです。
(1)は、P, Q, R, Sが平行四辺形の頂点になることを言えればOKです。
(2)は、M, Lをそれぞれ座標（ベクトル）で表現して、MLを平方完成により最小化しましょう。
(3)は、Xの形状がイメージしにくいですが、台形を２つ重ねたような6角形になります。２つの台形の、上底、下底、高さがそれぞれどうなっているかを計算する必要があります。これらをsの式で表現して、面積計算しましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
確率の問題です。
解法については、途中経過を気にしない(1)については漸化式を、途中経過を考慮しないといけない(2)については直接計算を採用するのが良いでしょう。
(1)は前述のとおり、確率漸化式を立てることにより解くことができます。
(2)については、試合の勝者がどのような配分になっているかを調べつくす必要があります。Bが勝つ前後でAが何回勝つかを考えて、足し上げる形になります。初戦でAが初場合とBが勝つ場合とで大きく状況が変わるので、場合分けです。
＜筆者の解答＞
