東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、九州大学の2018年の問題を取り上げます。
第1問
点の軌跡を求める問題です。
この問題は、Pをどう表現するかという初手でかなり左右されると思います。経験がないと思いつきにくいと思いますが、Pをパラメータ表示すると、
x= (e^x +1/e^x)/2, y= (e^x -1/e^x)/2 と表現できます。これらはその名も、「双曲線関数」と呼びます。
これさえ思いついてしまえば、x=dとの交点の座標を調べてtを消去するすると、求めたい軌跡が分かります。y,zの動く範囲には注意です。
＜筆者の解答＞
第2問
面積と回転体の体積を計算する問題です。S, Tの形状をきちんと図に描いてあげれば、典型的な問題になります。
(1)(2) S, Tの形状は、Pをパラメータ表示してRの軌跡を計算することで分かります。
登場する図形は円と楕円だけなので、積分なしに面積を計算できます。
(3)も典型的な体積計算です。∫√(4-y^2) dyの計算は、円の面積を利用するとよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第3問
サイコロの出た目の積の4で割った余りを考える確率の問題です。
設定的に、どっかでは2,4,6が混入するので、回数を稼げば、積はいずれ4の倍数になります。このことを念頭に置きつつ、漸化式を立てて解いていきます。
q,s →r →pの順に解けていきますが、pは、1-(q+r+s)で簡単に出せます。（pnを計算した後に気がつきました笑）
当初の予定通り、nを無限大に飛ばすと、pは1に、残り３つは0に行くことが分かります。
＜筆者の解答＞
第4問
3次方程式を題材にした整数問題です。
(1)は、平方数を3で割った余りが0か1になることを利用します。今回の場合、aとbは3の倍数じゃないので、a^2とb^2を3で割った余りは両方とも1になります。
(2) f(x)が整数係数の3次式なので、f(x)=0の有理数解としてありえるのは、x=±1かx=±(1/2)のみです。前者が解にならないことを示しましょう。f(-1)を3で割った余りを考えれば十分です。
(3) f(x)=0の有理数解としてありえるのは、x=±1かx=±(1/2)のみで、整数解の可能性が(2)で消えたので、x=±(1/2)のみが候補です。これらの解を持つようなa,bを求めましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
複素数方程式を解く問題です。
絶対値が混じっているので、αとzを極形式で書いてあげるとよいと思います。
条件整理を進めると、ax+by=0かつcx+dy=0が、(x,y) = (0, 0)以外の解を持つ条件を調べる問題にいきつきます。この条件は、ad-bc=0となるので、これにより、α、zに制限がかかります。
これら候補について、それぞれ調べていきましょう。
別解としては、与式で絶対値を取ることにより、極形式に直すことなく解き進める方法です。先に|z|を求めて、絶対値を外していくという手法です。ちょっと思いつきにくいですが、処理自体はこちらの別解の方が楽です。
＜筆者の解答＞
