東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、名古屋大学の2016年の問題を取り上げます。
第1問
放物線で直角を作れる条件を求める問題です。
TAベクトルとTBベクトルの内積が0になるようなTがAとBの間に見つかるようなbの条件を求めます。bの値によって軸の位置が変化するので場合分けが必要です。
[訂正]
f(-1)の計算にミスがありました。その結果最終的な答えは、b>1-1/√2となります。
＜筆者の解答＞
第2問
２つの円が絡んだ三角形の面積を最大化する問題です。
(1)P(rcosθ, rsinθ)がC上にあるという条件からrを求めます。これは、Cの極座標での式、極方程式を求める問題と言えます。
(2)θを固定したとき、三角形の底辺はrで固定なので高さだけ気にすればよいです。
三角形の面積、つまり高さが最大になるのは、Qが、Dと傾きがtanθとなる直線の接点になっているときです。
(3)は、(2)のように一旦θを固定して面積を出し、θを動かして最大化します。
＜筆者の解答＞
第3問
確率の問題です。
赤玉の個数がどのように変化するかを調べて漸化式を立てて解きましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
2次方程式の整数解に関する問題です。(1)はともかく、(2)は、このセットの中どころか、2016年に出題された問題全部を見渡しても最強の難問です。筆者自身解きあげるのに(2)だけで2時間以上かかりました。。。
本番では(1)が解ければ十分で、(2)は捨ててしまって全く問題ありません。
(1)は、せめて解いておきたい小問です。解と係数の関係により6つの方程式が出来上がるので、これを解きに行きます。整数問題は、掛け算の方が扱いやすいので、そちらから考えると楽です。具体的にはbdf=0 かbdf≠0かで場合分けが生じます。
途中、ace=1が出てきますが、どれも整数なおかげで、1,1,1か1,-1,-1(順不同）にパターンが絞られます。
並みの大学の問題であれば、(1)だけでも十分大問として成立すると思います。
(2)は、前述の通り、2016年のレジェンドとなった超難問です。
難問と言っても、発想が難しく何も手がつかないタイプの難問ではありません。手自体は動くのですが、実際に考え始めると考えるべき場合分けがあまりに膨大なため、途中で何をしているのかが分からなくなって迷宮入りしてしまう底なし沼タイプの難問です。おそらく、数学オリンピック級の天才児であっても時間内に解き切るのはほぼ不可能でしょう。
(ⅰ)は、問題文からして難しそうです。問題文を満たすan, bnを次々作っていくと、bnの絶対値はやがて一定になることを証明してね。という問題です。
解と係数の関係から、|bn| = |an+1||bn+1|が言えます。この式は、いわば|bn|を因数分解した式に相当します。
ここで、もしan+1 ≠ 0のとき、|an+1|≧1が言えるので、|bn|≧|bn+1|となり、|bn|は単調減少することが分かります。さらに、もし|an+1|≧2だったら、|bn|>|bn+1|となります。
しかしながら、|bn|は有限なので、因数分解を繰り返せばいずれは|an+1|=1にならざるを得ません。よって、あるmで|am+1|=1になった瞬間 |bn|=|bn+1|となります。
上記の議論は、数列an, bn に0が一回も登場しない場合にしか成り立たないので、0を含むケースを別途考えないといけません。
チマチマと解と係数の関係を使うと、こちらの場合は、|bm|=|bm+1|=・・=0が言えます。実際に解いてみると分かりますが、ここまでの段階でかなりの疲労困憊になります。
(ⅱ)は、mから先の議論は(ⅰ)で終わっているので、mより前でどうなるかを調べます。
これまた、an, bn の中に0が含まれている場合とそうでない場合に大別されるので、それぞれ場合分けして調べる必要があります。2つの解のうちどっちをanにしてどっちをbnにするかの場合分けも必要なので、非常に長い検討が必要です。
さすが、「大学への数学」で「時間無制限」判定されたとんでもない問題でした。。
ある意味この問題は地雷を見抜けるかを試す問題だといえるでしょう。。。
＜筆者の解答＞
