東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、九州大学の2016年の問題を取り上げます。
第1問
対数関数と2次関数に関わる面積の問題です。
(1)C1とC2を連立した式がx=n+1を解に持つことからaが求まります（※x=1は必ず解に持つので考えなくてよし）。nで微分して増減を調べることでa>0も言えます。
(2)図を描いて、積分計算を実行すればよいです。
(3)も定義に従って計算するだけです。log(n+1)÷logn は1に収束します。
＜筆者の解答＞
第2問
三角形内部の3線分の交わりを考える問題です。
(1)はベクトルで求めるのも良いですが、初等幾何で習う「チェバの定理」を使うのが最も手っ取り早いでしょう。
(2)は、ベクトルを使って、線分の比を次々求めていきましょう。これにより、高さの等しい三角形については、面積比＝底辺比となります。
(3) 全体から、BCQ, ABP, ACRの面積を引けばよいです。答えは、(1)の答えを入れると0になり、かつそれ以外のtで正になるので、妥当性も十分です。
＜筆者の解答＞
第3問
コインを動かしていく状況を考える確率の問題です。
(1)は、サイコロの目によってコインがどう動くかを全て書き出してあげるとよいです。
(2)(3)はまとめて考えます。n回サイコロを投げてコインが1~6にいる確率をそれぞれan, bn, cn, dn, en, fn として漸化式を立ててあげると、任意のnについてan= 1/6になることが分かります。
＜筆者の解答＞
第4問
10^nを13で割った余りを考える問題です。
(1)は合同式を考えれば瞬殺でしょう。
(2) (1)を使って全部計算できます。
(3)最高位の数字をa, 1の位をbとすると、
N= a×10^5 + 2×10^4 + 1×10^2 + 6×10 +b となるので、(2)を使うとNを13で割った余りが求まります。それが0になるようなaとbを求めましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
三角関数に関する問題です。誘導形式かと思いきや、小問集合に近いです。
(1)は、ド・モアブルの定理から容易に分かります。
(2)は、倍角の公式を使うとcosxの3次関数となります。幸いcosxは角度が求まる値になります。
(3)は、左辺を倍角の公式を使ってできる限り簡単にしていくと、θ=20°とすると、
cosθ - cos2θ - cos4θとなります。cosθの4次式となりますが、cos3θ=1/2となることから次数下げをすることができます。
＜筆者の解答＞
