東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、名古屋大学の2015年の問題を取り上げます。
第1問
2^x = x^2の解を考察する問題です。
(1)f(x)を微分して考えましょう。2^xの微分には、log2という余計な掛け算が登場します。
(2)y=f(x)のグラフを描けば、x<0では単調増加、x>0では極小値をもつことが分かります。今f(x)=1の解を気にしているので、極小値が1より小さいかが気になるわけです。極処置を直接計算して1と大小比較するのは厳しいので、別案を考える必要があります。
試しに、x=3を代入してみるとf(3)<1となるので、少なくとも極小値はf(3)以下でないといけません。よって極小値が1より小さいことが言えたので、f(x)=1の解は、x<0で１つ、x>0で2つ持つことが分かります。
(3)正の有理数解がx=2,4となるのはすぐに分かります（答案では馬鹿正直に証明に入っていますが笑）。よって、残り１つ負の実数解が有理数かどうかを判定することになります。負の実数解が有理数だと仮定すると、矛盾が発生します。
＜筆者の解答＞
第2問
4次方程式の実数解についての問題です。あまり過去に例のない出題で難問だと思います。
(1)ができなければ、この問題は完全にお手上げです。ルートがいくつも入っているので2乗して解消したいところですが、うまく工夫しないと、いつまでたってもルートが消えてくれません。このあたりで試行錯誤が必要になります。
結論としては、√13だけ移項してから2乗するとうまくいきます。
(2)は、(1)の方程式を巻き戻して考えます。(1)の方程式を作る時に2回2乗をしているため、それを巻き戻して「平方根」を取ろうとすると、プラスを取るのかマイナスを取るのかで分岐が発生することになります。
これで４つの異なる解が得られ、4次方程式の解は最高で4つなので、これで全部になります。
(3)4つの解からできるペア6通り全てで大小比較しないといけないので、骨が折れる問題です。大小関係の明らかなペアからさっさと決めてしまいましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
指数関数とその接線の作る面積に関する問題です。
(1)S1は簡単に求まりますが、S2は、Rの座標を求めることに始まり、結構複雑な計算をしないといけません。図形的な考察も入れながら、できるだけ労力を減らしましょう。
忘れがちですが、y=txの情報を使うともっと簡単にできます（(1)時点では私は気づけませんでしたが）
(2)も十分難問です。f(x)=e^x - tx の増減を考えてα、βがどこにあるのかを調べていきましょう。結構細かな議論が必要です。
αとβの不等式が証明できれば、あとははさみうちです。
＜筆者の解答＞
第4問
石の移動を考察する確率の問題です。
(1)は、n回後に点iにいる確率Pn(i)の漸化式を立てて、n=6まで順に計算しましょう。
(2)5つ全ての点に印がつくことは、点5を通過することと同義です。点5を通過するルートを総当たりで調査しましょう。
(3)ちょうど3つの点に印がつくとき、その３つの点は、1~3の3点です。
よって、1度も点4,5に到達することなく、1~3を全て通過する確率を考えます。
これは、(通過する点が3点以下になる確率) ー (通過する点が2点以下になる確率)によって計算できるので、両方を漸化式を使って求めていきましょう。
＜筆者の解答＞
