旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では京都大学の2015年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の京大理系数学 -2015年- - ちょぴん先生の数学部屋
第1問
交点を持つ条件を考察する問題です。
放物線と交点を持つ条件は、連立した2次方程式が実数解を持つ条件として容易に処理できます。
絶対値のついた1次関数と交点を持たない条件については、この関数をグラフに描いて図形に考察するとよいです。傾きpを固定してqを動かすと考えると見通しが良いでしょう。
<筆者の回答>
第2問
理系第2問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第3問
点の経路を考察する確率の問題です。
ABとAFに注目すると見通しが良くなります。ABとAFの両方が黒or赤になる場合、片方のみが黒or赤となる場合に分けて、どうすればAからEにたどり着けるかを1つ1つ丁寧に考察していきましょう。
<筆者の回答>
第4問
点の存在範囲を調べる問題です。これは文系には重すぎる問題です。。
Q(a,b,c)とおいて、ベクトル方程式を使ってRの座標を求めるのが第一歩です。R(x,y,0)とおいて、aとbをx,y,cの式で表現するし、球の式に代入することで、cを固定した場合のRの軌跡を求めることができます。
cを動かしたときのこの曲線の通過領域が、求める領域になります。cを固定したときの軌跡が円で、中心も半径も単純なcの式ではないので中々厄介です。
通過領域を考える方法は、円の式をcの方程式と見なして、それが0≦c<2の範囲に解を持つようなx,yの条件を求めることです（逆像法）。幸い、中心と半径に現れるcの式が両方同じ形をしているので、まとめてρと置き換えてしまいましょう。ρの範囲を調べるとρ>0だと分かるので、結局、「ρの2次方程式が正の実数解を持つようなx,yの条件を求める」問題になります。
ここまでやってようやく答えです。理系でも十分苦戦する問題でした。
割と試験場で思いつきやすい力づくの解法を紹介しましたが、もっとエレガントな解法があるかもしれませんね。。。
<筆者の回答>
第5問
理系第5問とほとんど同じ問題です。相違点は、理系の場合はa~eが正の「実数」だったのが、文系の場合はa~eが正の「有理数」だという点です。
とはいえ、有理数だろうが実数だろうが解き方は変わりません。詳しくは理系の記事をご覧ください。
理系でも最難問だった問題なので、文系にとっては捨て問確定です。
