旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では北海道大学の2015年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の北大理系数学 -2015年- - ちょぴん先生の数学部屋
第1問
放物線の接線に関する問題です。
(1) PQの傾きを計算し、接線の傾きがそれと等しくなるような接点のx座標を計算してあげましょう。
(2) 連立した2次方程式の判別式>0で良いでしょう。
(3) (2)の2次方程式の解をα, βとすると、R,Sのx座標をα,βとすることができます。R,Sが同じ直線状にあるので、RSの長さはx座標の差β-αの差に比例することに気付けると大分楽になります。
上記に注意して、PQ, RSをaの式で書いて方程式を解けばよいでしょう。
<筆者の回答>
第2問
漸化式の問題です。誘導が丁寧なのでうまく乗っていきましょう。
(1) bnの式を漸化式に代入するだけです。
(2) (1)の結果からbnは等差数列の階差数列となっているので、bnを求める際に等比数列の和を計算することになります。このとき、公比が1になるp=-1の場合だけ例外処理が必要になることに要注意です。
<筆者の回答>
第3問
ベクトルの問題です。
(1) OA・OP=0, OB・OQ=0 を使って、(OP+OQ)・AB=0 を処理しましょう。
(2)さすがにこの小問は座標設定が必要でしょう。a>0, b>0としてA(a,0), B(bcosα, bsinα)とします。すると、P,Qは、P(0,p), Q(-qsinα, qcosα)と書くことができます。本来P,Qは2通り考えることができるのですが、符号をp,qに押し付けてあげることで1通りに書くことができます。
ここで(1)の式を使うとp,qが異符号になっていることが分かります。あとは、OP, OQのなす角をβとして、内積を計算してあげましょう。
(3) (2)を解く過程で出てくるa,b,p,qの関係式そのものです。
<筆者の回答>
第4問
トランプを並べたときの「7」の配置を考える確率の問題です。
（この翌年に、トランプという名前のアメリカ大統領が誕生することは誰も知らない。。）
(1) 教科書に載っている、4枚の7を一塊にして並べ、その後に4枚の中での並べ方を数える、という作業です。
(2) これも場合の数を丁寧に数え上げます。
1. 7のペアA, Bを作る →作り方が6通り
2. AとBをこの順に、50個のマス目から2マス選んで並べる
→AとBが隣り合う場合を除いて25×49-49 通り
3. 7以外の48枚を残りのマス目に入れる →48!通り
4, A,Bそれぞれの中で並び替え →2×2通り
以上の4工程で場合の数を求めることができます。
<筆者の回答>
