旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では東北大学の2015年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の東北大理系数学 -2015年- - ちょぴん先生の数学部屋
第1問
漸化式の問題です。誘導にうまく乗って解いていきましょう。
(1)この設問自体が大ヒントですね。漸化式の番号を1つ増やした式を作って、元の漸化式との差を計算してあげると、うまく因数分解、約分出来てスッキリした式になります。
(2) bnの置き方も大ヒントです、an+1を1つ分移項すればbnが作れます。
(3) anがbnの階差数列になっているので、教科書レベルです。
<筆者の回答>
第2問
理系第5問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第3問
理系第3問との共通問題で、理系の(3)が省略されています。
詳しくは理系の記事をご覧ください。
第4問
3次関数の最大値に関する問題です。
(1)微分して考えればよいですが、aの値によってf'(t)の符号変化の仕方が変わるので場合分けが発生します。
(2) (1)と同様にsの値による場合分けが発生します。それぞれについて接線をsの式で書いて原点を通る条件を考えます。
(3) 理系にとっては微分すればいいだけの易しい問題ですが、分数関数の微分を知らない文系の人にとっては発想力の要る難問になっています。
まずは、分母にルートが入っているのがイヤらしいので2乗してしまいましょう。すると、k^2 = g(a)/aとなります。
分数関数の微分を使えば簡単な微分の処理で終わってしまいますが、文系向けの問題なので、微分を使わずに解く方法を考えましょう。
ここで引っかかりを覚えてほしいです。何のために(2)を解かせたのかを。
k^2の式をよく見ると、g(a)/a = [ g(a) - 0]/ (a-0) と書けて、(0,0)と(a, g(a) )を結んだ線分の傾きと解釈することができます。ここまで考察できれば、(2)の結果が使えることに気付きます。
aを動かすと、基本的にはこの線分はg(x)を横切りますが、接線になる瞬間だけg(x)の下側に来て傾きが最小になります。
<筆者の回答>
