東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、九州大学の2014年の問題を取り上げます。
第1問
三角関数の絡んだ、接線と面積を考える問題です。
(1)は教科書レベルの問題です。
(2)もテンプレ通りの体積計算の問題です。計算ミスに注意して解きましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
整数の関係式に関する証明問題です。
(1)は、常識レベルですが、合同式を用いてもよし、a=3n, 3n±1 として直接証明してもよしです。
(2)左辺を3で割った余りがどうなるかを調べます。右辺が3で割り切れるので、左辺を3で割った余りが0でないといけません。
(3)は、(2)から、a=3a', b=3b', c=3c' とかけるので、これを代入すると、a', b', c'も(2)の関係式を満たすので、a', b', c'もすべて3の倍数となります。この議論を繰り返すと、a,b,cはすべて3で何回でも割り切れる自然数ということになっていまい、矛盾です。
このような証明方法は、「無限降下法」と呼ばれています。
＜筆者の解答＞
第3問
楕円と正方形の交点を考察する問題です。
(1)楕円と直線の交点を考えるので、連立してできるxの２次方程式が実数解を持つ条件と言い換えられます。この(1)は(3)のヒントになっています。
(2) この形の方程式は、原点が中心、各頂点が座標軸上にある正方形を表します。
(3) (2)で考えた正方形のサイズを変えた時に、楕円と交点を持つ条件を考えることになります。正方形のサイズを0から徐々に大きくしていくと、最小値は正方形の頂点が楕円と初めてぶつかるとき、最大値は、正方形の辺が楕円から離れる直前となります。後者を考えるときに、(1)の結果が使えます。
＜筆者の解答＞
第4問
確率の問題です。
(1)AとBそれぞれについて得点表を作ってしまいましょう。
(2)も、Aが何円もらうか（失うか）をまとめてしまうのがよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第5問
相異なるn個の実数解を持つn次関数が、x軸交点との間に必ず１つだけ極値を持つことを証明する問題です。これは、一見当たり前のように思えるがゆえに、証明が難しいです。
平均値の定理を使ってあげると、1/(k+1)と1/kの間に少なくとも一つは「傾き0」になるポイントがあることがわかります。「傾き0」とはとりもなおさずfn'(x) =0となるポイントなので、このことからfn'(x)=0は1/(k+1)と1/kの間に少なくとも一つずつ合計n-1個の解を持つことがわかります。
一方、fn'(x)はn-1次式なので、fn'(x) =0の実数解は多くてn-1個となるので、1/(k+1)と1/kの間にある解は1個しかないことがわかります。
当然ながら1/(k+1)と1/kの間では単調に増加や減少はしないので、fn'(x) =0となるポイントはかならず極大か極小となります。
＜筆者の解答＞
