東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の2013年の問題を取り上げます。
第1問
三角関数の囲む面積を考える問題です。
(1)連立すると、tant=a/bが分かるので、これをcost, sintに変換します。
(2)C1, C2をグラフに描けば、単純な面積の計算問題です。
(3)Tも同様に計算できます。
＜筆者の解答＞
第2問
一次変換の問題です。
(1)f,hの式は、教科書レベルです。
(2)P(a,b)がP'(a', b')に移るとしたときの関係式を求めます。y=cxについて対称な時、PとP'の中点がy=cx上にある、PP'がy=cxに垂直という2条件を満たします。
(3)f・gを具体的に計算して、hの行列と一致すればよいです。
＜筆者の解答＞
第3問
複素数の実部・虚部の動く範囲を考える問題です。
(1)これは単なる計算なので、計算するのみです。
(2) (1)を使って、s,tの条件をx,yの条件に言い換えましょう。
(3)k=-5x+y として、直線k=-5x+y がDと交点を持つ条件を考える、「線形計画法」の問題です。
＜筆者の解答＞
第4問
4で割った余りによって点の動きが変わる状況を考える、確率の問題です。
全体を通じてですが、各方向に動く確率をまずは全部求めてしまいましょう。
(1)Xが4で割り切れる確率です。
(2)3回投げて(2,1)にいるためには、X≣2が2回、X≣3が1回発生しないといけません。
(3)X≣0がa回、X≣1がb回、X≣2がc回、X≣3がd回発生するとして、a~dを求めましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
積分で書かれた関数についての問題です。いわゆる「畳み込み積分」と呼ばれるタイプの積分です。
(1)x-t =s と変数変換すれば示せます。
(2) (1)の式をxで微分すればよいです。F(x/2)は、微分する度に1/2が掛け算されることに注意します。
(3)F(x) = ax^3 +bx^2 +cx +dとおいて、(2)などを使ってa~dを決めましょう。
＜筆者の解答＞
